Το ιστολόγιο αυτό δημιουργήθηκε από τον Μόσχο Αλέξανδρο μαθηματικό του γυμνασίου - Λ.Τ Σημάντρων Χαλκιδικής.

Περιέχει πληθώρα άρθρων σχετικών με τη ιστορία , τη φιλοσοφία , τη λογοτεχνία τη χρησιμότητα των μαθηματικών.

Τρίτη 17 Απριλίου 2012

Ραμανουτζάν : Ο ρομαντικός των μαθηματικών.


O άνθρωπος που αγαπούσε τους αριθμούς και γνώριζε το άπειρο

Ως άλλος Μότσαρτ, ο ινδός μαθηματικός Σρινιβάσα Ραμανουτζάν (Srinivasa Ramanujan, 1887 -1920) άφησε πίσω του μια πλούσια σοδειά 4.000 πρωτότυπων θεωρημάτων που μελετώνται ως σήμερα. Λιγότερο γνωστή είναι η μυθιστορηματική ζωή του, που ξεκίνησε από ένα μικρό χωριό της Ινδίας και έλαμψε στο Κέιμπριτζ για να καταλήξει στην πνευματική μοναξιά της αγαπημένης του πατρίδας,

Ένα από τα σημαντικότερα πράγματα στη ζωή του Μότσαρτ, του οποίου γιορτάζουμε εφέτος τα 250 χρόνια από τη γέννηση (1756-1791), είναι το τεράστιο και πολύπλευρο έργο του που πραγματοποιήθηκε σε σύντομο χρόνο. Ο Μότσαρτ πέθανε σε ηλικία 35 χρόνων και άφησε πίσω του 600 έργα. Μεταξύ αυτών 41 συμφωνίες,27 κοντσέρτα για πιάνο, 23 κουαρτέτα εγχόρδων, 17 σονάτες για πιάνο και επτά όπερες. Το αντίστοιχο παράδειγμα στην ιστορία των μαθηματικών είναι ο αυτοδίδακτος ινδός μαθηματικός Σρινιβάσα Ραμανουτζάν. Ο Ραμανουτζάν πέθανε σε ηλικία 33 χρόνων και άφησε πίσω του 4.000 πρωτότυπα θεωρήματα τα οποία μελετώνται και ερευνώνται ως σήμερα.
Ο δάσκαλος στο μικρό χωριό Εροντε της Ινδίας δίδασκε αριθμητική και μάλιστα την πράξη της διαίρεσης με παραδείγματα. Ρώτησε λοιπόν τους μαθητές πόσες μπανάνες αντιστοιχούν σε κάθε παιδί αν τρεις μπανάνες μοιραστούν σε τρία παιδιά. Οι μαθητές απάντησαν όλοι μαζί μία. Μετά έκανε την ίδια ερώτηση αν οι μπανάνες είναι 1.000 και τα παιδιά 1.000. Οι μαθητές απάντησαν και πάλι μία. Ξαφνικά ένας μαθητής ρώτησε τον δάσκαλο: Αν μηδέν μπανάνες μοιραστούν σε μηδέν παιδιά, πόσες αντιστοιχούν στο καθένα; Ολόκληρη η τάξη ξέσπασε σε γέλια θεωρώντας την ερώτηση ανόητη. Ο δάσκαλος όμως δεν γέλασε και αντιμετώπισε την ερώτηση σοβαρά. Στην ουσία ο μαθητής ρωτούσε για την έννοια του απείρου, μια έννοια που ταλαιπώρησε τους μαθηματικούς για αιώνες ώσπου να αποδειχθεί ότι η διαίρεση του μηδενός με το μηδέν δεν είναι μηδέν ή ένα, αλλά άπειρο. Ο μαθητής που έκανε την ερώτηση ήταν ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν.

Ο Ραμανουτζάν γεννήθηκε το 1887 σε μια φτωχή οικογένεια βραχμάνων στο Εροντε της Ινδίας. Ο πατέρας του ήταν υπάλληλος σε ένα κατάστημα υφασμάτων. Πήγε στο σχολείο σε ηλικία επτά ετών και έμεινε ως τα 16 του. Αρχισε να ασχολείται με τα μαθηματικά από μικρή ηλικία και ήταν λαμπρός μαθητής. H πραγματική είσοδός του στον κόσμο των μαθηματικών έγινε όταν έφτασε στα χέρια του το βιβλίο «Μια σύνοψη αποτελεσμάτων στα καθαρά και εφαρμοσμένα μαθηματικά» του Τζωρτζ Καρ. Το βιβλίο περιείχε 6.000 θεωρήματα τα οποία ο Ραμανουτζάν μελετούσε με ενθουσιασμό και απεδείκνυε με δικό του τρόπο. Ισχυριζόταν ότι η θεά Ναμακάι τον ενέπνεε στα όνειρά του με μαθηματικούς τύπους.
Με βάση τις πολύ καλές επιδόσεις του στο γυμνάσιο κέρδισε μια υποτροφία για το πανεπιστήμιο, όπου τα πράγματα δεν εξελίχθηκαν καλά. Τα μαθηματικά, που ήταν η μεγάλη του αγάπη, ήταν η αιτία της αποτυχίας του στο πανεπιστήμιο. Ο Ραμανουτζάν ασχολούνταν μόνο με τα μαθηματικά και αγνοούσε τα υπόλοιπα μαθήματα. Απέτυχε στις εξετάσεις, έχασε την υποτροφία και δεν πήρε το πτυχίο του. Παντρεύτηκε στα 22 του αλλά δεν μπόρεσε να βρει δουλειά στο πανεπιστήμιο, παρά τις προσπάθειες επώνυμων Ινδών που είχαν εντυπωσιαστεί από τις ικανότητές του. Τελικά το 1912, σε ηλικία 25 ετών, βρήκε δουλειά στο Λιμενικό Ταμείο του Μαντράς. Οπως είναι φυσικό, η δουλειά του δεν τον ενδιέφερε καθόλου και όλον τον υπόλοιπο χρόνο ασχολούνταν με τα μαθηματικά. Εμενε ξάγρυπνος τις νύχτες παράγοντας και αποδεικνύοντας νέα θεωρήματα στη θεωρία των αριθμών. H περίοδος αυτή της ζωής του μοιάζει με την αντίστοιχη του Αϊνστάιν στο γραφείο ευρεσιτεχνιών της Ζυρίχης, όπου υπηρέτησε ως υπάλληλος. Εκείνη την περίοδο ο μεγάλος φυσικός συνέλαβε και δημοσίευσε τις σημαντικότερες εργασίες του χρησιμοποιώντας τον ελεύθερο χρόνο του.
Ο προϊστάμενός του στο γραφείο διαπίστωσε το μεγάλο του ταλέντο στα μαθηματικά και τον προέτρεψε να έλθει σε επικοινωνία με τους βρετανούς μαθηματικούς. Ο Ραμανουτζάν έστειλε το 1913 μια επιστολή στον πιο γνωστό βρετανό μαθηματικό της εποχής, τον Τζ. Χάρντι Οπως ανέφερε ο Χάρντι αργότερα, η επιστολή περιείχε 120 θεωρήματα χωρίς απόδειξη. Μερικά από αυτά ήταν γνωστά, μερικά μπορούσαν να αποδειχθούν με δυσκολία και μερικά ήταν εντελώς νέα και πρωτότυπα. Ο Χάρντι εντυπωσιάστηκε αναφέροντας πως δεν είχε δει ποτέ κάτι παρόμοιο στη ζωή του και αποφάσισε να καλέσει τον νεαρό Ινδό στο Κέιμπριτζ. Υστερα από δύσκολες προσπάθειες κατάφερε να φέρει τον Ραμανουτζάν στο Κέιμπριτζ το 1914.
Ο Ραμανουτζάν και ο Χάρντι είχαν στενή συνεργασία. Ο Ραμανουτζάν είχε την τάση να επινοεί συνεχώς θεωρήματα χωρίς να τα αποδεικνύει και ο Χάρντι προσπαθούσε να του διδάξει τη διαδικασία της απόδειξης, η οποία είναι η βάση των μαθηματικών. H ζωή του στο Κέιμπριτζ ήταν δύσκολη, παρ' όλες τις προσπάθειες του Χάρντι να αισθάνεται άνετα στο ψυχρό περιβάλλον του πανεπιστημίου. Ο καιρός, η διαφορετική κουλτούρα, η μοναξιά και το φαγητό επηρέασαν σημαντικά την υγεία του. Ο Ραμανουτζάν ήταν χορτοφάγος και αναγκαζόταν να ετοιμάζει μόνος του το φαγητό του, ενώ κυκλοφορούσε με γυμνά πόδια στο πανεπιστήμιο. Το 1917 αρρώστησε και νοσηλεύτηκε πολλές φορές στο νοσοκομείο. H μεγάλη του αγάπη και η ικανότητά του στη θεωρία των αριθμών φαίνεται από το εξής περιστατικό. Ο Χάρντι τον επισκέφθηκε κάποτε στο νοσοκομείο και όταν τον συνάντησε του ανέφερε ότι το ταξί που τον μετέφερε είχε τον αριθμό 1729. Τότε ο Ραμανουτζάν απάντησε αμέσως ότι ο αριθμός αυτός είναι ο μικρότερος ακέραιος που μπορεί να αντιπροσωπευθεί με το άθροισμα δύο κυβικών δυνάμεων κατά δύο τρόπους (1729=13+123=93+103). Λόγω της επιδείνωσης της υγείας του ο Ραμανουτζάν επέστρεψε στην Ινδία το 1919 και τον επόμενο χρόνο πέθανε.
Ο Ραμανουτζάν πήρε τελικά το πτυχίο του από το Κέιμπριτζ το 1916, ενώ το 1918 εκλέχθηκε εταίρος της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου και του Trinity College του Κέιμπριτζ. Κατά τη διάρκεια της πεντάχρονης παραμονής του εκεί δημοσίευσε 21 εργασίες αλλά άφησε και μεγάλο αδημοσίευτο έργο σε σκόρπια τετράδια. Το 1976, 56 χρόνια μετά τον θάνατό του, βρέθηκε στο Κέιμπριτζ ένα τετράδιο 138 σελίδων που περιείχε 600 θεωρήματα. Πρόκειται για τη δουλειά που εκπόνησε στον έναν χρόνο που έζησε στην Ινδία πριν από τον θάνατό του. Ο Ραμανουτζάν, παρ' όλο που γνώριζε ότι έφθανε το τέλος, δούλευε συνεχώς ως τον θάνατό του. Ο καθηγητής Μπ. Μπερντ του Πανεπιστημίου του Ιλινόι των ΗΠΑ, και οι συνεργάτες του ασχολήθηκαν επί δεκαετίες με την ταξινόμηση και τη μελέτη του έργου του (4.000 θεωρήματα) το οποίο δημοσιεύτηκε σε πέντε τόμους από τον εκδοτικό οίκο Springer. Στο Πανεπιστήμιο του Μαντράς ιδρύθηκε προς τιμήν του το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στα μαθηματικά ενώ στo Avvai Kalai Kazhagam μουσείο. H σύζυγός του Τζανακιαμάλ πέθανε το 1994.
Ο Ραμανουτζάν θεωρείται ο μεγαλύτερος μαθηματικός της Ινδίας, καλύτερος από τον Χίλμπερτ, ισάξιος του Γκάους και του Οϊλερ, και η ζωή του αποτελεί την πλέον ρομαντική και συγκινητική ιστορία των σύγχρονων μαθηματικών.
Ο κ. Αστέριος Παντοκράτορας είναι αναπληρωτής καθηγητής του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής Ξάνθης.
ΠΗΓΗ: ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ ΤΟ ΒΗΜΑ Ι ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ:  02/04/2006  

Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

Τα μαθηματικάτης στρογγυλής θεάς.

ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ
Τα μαθηματικά της στρογγυλής θεάς
Είναι η μπάλα Jabulani πιο γρήγορη από τις άλλες; Τι έχουν να περιμένουν διαιτητές και τερματοφύλακες στη Ν. Αφρική; Οι απαντήσεις βρίσκονται στις... εξισώσεις. Γιατί τα σουτ, όπως και τα κουκιά, είναι μετρημένα...

Χωρούν τα Μαθηματικά στο ποδόσφαιρο; Και αν χωρούν, το κάνουν καλύτερο ή χειρότερο; Μην ξεχνάμε ότι είναι ένα άθλημα που έχει φτιαχτεί για να μην μπαίνουν πολλά γκολ και να μην κερδίζει πάντα ο καλύτερος... Η ανάλυση 300.000 παιχνιδιών από διάφορα ομαδικά αθλήματα- μπάσκετ, μπέιζμπολ, χόκεϊ στον πάγο- έδειξε ότι το ποδόσφαιρο είναι το πιο απρόβλεπτο απ΄ όλα σε ό,τι αφορά τα αποτελέσματα. Ως τις 11 Ιουλίου και επί έναν μήνα έχουμε την ευκαιρία να βλέπουμε, να απολαμβάνουμε αλλά και να σκεφτόμαστε μερικά από όσα έχουν ανακαλύψει οι επιστήμονες γύρω από την μπάλα.

Πώς κυλά η Jabulani
Η καινούρια μπάλα, η Jabulani (σημαίνει «να το γιορτάσουμε» στη γλώσσα των Ζουλού), με τα ένδεκα χρώματα για τις ένδεκα πιο πολυπληθείς φυλές που κατοικούν στο κράτος της διοργανώτριας χώρας Νότιας Αφρικής, άρχισε να κυλάει στα γήπεδα. Σχεδιάστηκε, δοκιμάστηκε, κρίθηκε και επικρίθηκε. Είναι πάντως ένα ακόμη προϊόν επιστημονικής έρευνας σε σχέση με τη συμπεριφορά διάφορων υλικών και δοκιμών σε αεροσήραγγες. Μία ακόμη προσπάθεια οι νόμοι της Φυσικής να παίξουν κάποιο ρόλο στη διαμόρφωση του δημοφιλέστερου αθλήματος στον κόσμο. Μόνο που η επιστήμη εξ ορισμού έχει σκοπό να κάνει τα πράγματα γύρω μας περισσότερο προβλέψιμα, ενώ η γοητεία του ποδοσφαίρου είναι το ότι σε διοργανώσεις όπως το Μουντιάλ διάφοροι παράγοντες το κάνουν απρόβλεπτο. Αρα, πιο ενδιαφέρον.

Και η καινούρια μπάλα, για να μη μιλούμε έτσι στον αέρα, δεν ξεφεύγει από τα παραπάνω. Οπως παραπονέθηκαν πιο πολύ οι τερματοφύλακες, τους έρχεται με ανυπόφορη ταχύτητα. Και αυτό έχει την επιστημονική του εξήγηση. Διότι μέσα στην αεροσήραγγα, όπου δοκιμάζεται πλέον η κάθε μπάλα, αποδείχθηκε ότι καθώς κινείται στον αέρα και τον μετατοπίζει στα πλάγια για να περάσει εκείνη, στο πίσω μέρος της δημιουργούνται στρόβιλοι, ακριβώς όπως βλέπουμε να συμβαίνει και στο νερό πίσω από την προπέλα ενός πλοίου. Η αντίσταση μάλιστα του αέρα μεγαλώνει καθώς αυξάνεται και η ταχύτητα της μπάλας (και μάλιστα με το τετράγωνο της ταχύτητας. Δηλαδή όταν διπλασιάζεται η ταχύτητα τετραπλασιάζεται η αντίσταση και έτσι κάπως η μπάλα φρενάρει).

Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Πάνω από κάποια τιμή της αρχικής ταχύτητας αλλάζει η ροή γύρω από την μπάλα και η αντίσταση μειώνεται! Αρα σε ένα πολύ δυνατό χτύπημα, έχει που έχει ταχύτητα η μπάλα, φρενάρει και λιγότερο, είναι και πιο αερόμπαλα αυτή η καινούργια και καταλαβαίνουμε το δράμα του τερματοφύλακα. Προσθέστε σε αυτά και το ότι το ένα τέταρτο των οστών του ανθρώπινου σώματος είναι συγκεντρωμένο στα πόδια και με βάση την εξίσωση της ορμής που είναι μεγαλύτερη όσο πιο μεγάλη είναι η μάζα του κινούμενου σώματος (εδώ αναφερόμαστε στα πόδια του ποδοσφαιριστή) και την ελαστική κρούση με την καλά φουσκωμένη μπάλα, δεν είναι δύσκολο να ξεπεράσουμε μια ταχύτητα ακόμη και 120 χιλιομέτρων την ώρα. Και με την καινούρια μπάλα, την κάπως πιο ελαφριά, πιο λεία και πιο στρογγυλή, καταλαβαίνουμε γιατί φωνάζουν ήδη ο Κασίγιας και οι άλλοι τερματοφύλακες.

Το άγχος του διαιτητή
Ακόμη μεγαλύτερο δράμα θα ζήσουν και οι διαιτητές όταν τους τύχει ή «τους κάτσει η στραβή η φάση», όπως λένε στη διάλεκτο την ποδοσφαιρική. Οπως το 1966, που οι Αγγλοι πήραν τον τίτλο του παγκόσμιου πρωταθλητή από τους Γερμανούς επιτυγχάνοντας ένα γκολ στην παράταση (2-2 ο κανονικός αγώνας, 4-2 το τελικό αποτέλεσμα) με ένα σουτ του Τζεφ Χερστ που χτύπησε στην οριζόντια δοκό και μετά κάτω στο χορτάρι, αλλά εκεί πέρασε τη γραμμή του τέρματος ή όχι; Οι Γερμανοί ακόμη δεν έχουν ξεπεράσει το αποτέλεσμα αυτό και η αμφιβολία έδωσε λαβή για ατέλειωτες έρευνες σε ταχύτητες αναπήδησης και ανάλυση φαινομένων Μάγκνους (το υπεύθυνο φαινόμενο για τα φάλτσα στην μπάλα, όπου εμφανίζεται υποπίεση στη μια πλευρά και υπερπίεση στην αντίθετη καθώς περιστρέφεται μέσα στον αέρα). Από εκεί προέκυψε και ένα επιπλέον πολύ χρήσιμο στοιχείο. Οτι η μπάλα αναπήδησε στο χορτάρι μέσα σε χρόνο μόλις 0,006 δευτερολέπτων. Δηλαδή μικρότερο και από 1 εκατοστό του δευτερολέπτου. Αν όμως λάβουμε υπόψη μας ότι χρειάζονται κάπου 5 εκατοστά του δευτερολέπτου για να επεξεργαστεί ο εγκέφαλος μια πληροφορία που λαμβάνει από το μάτι, καταλαβαίνουμε για το συγκεκριμένο γεγονός πόσο δύσκολο ήταν να το κρίνει ορθά ο διαιτητής. Αρα θα πρέπει να περιμένουμε με αυτή την μπάλα- την πιο γρήγορη- αρκετές ακούσιες διαιτητικές αστοχίες και θα πρέπει να κρατήσουμε την ψυχραιμία μας. Μόνο που όταν πρόκειται να πάρει πέναλτι η ομάδα μας ή αντίθετα να τιμωρηθεί με πέναλτι, ποιος κρατάει την ψυχραιμία του;

Με ή χωρίς Μαθηματικά πάντως, μας περιμένουν συναρπαστικές ημέρες και νύχτες αφού, όπως είπε ο Μπιλ Σάνκλι, μάνατζερ της Λίβερπουλ: «Το ποδόσφαιρο δεν είναι ζήτημα ζωής και θανάτου. Είναι κάτι περισσότερο από αυτό».

algaldadas@yahoo.gr

Εφαρμοσμένα μαθηματικά : Θεωρία των παιγνίων.

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά: Θεωρία Παιγνίων

Κωνσταντίνος
Όπως μου ζητήθηκε, σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσω να δώσω μία ανάλυση του τι είναι η θεωρία παιγνίων, πως και που πρωτοεμφανίστηκε και ποιοι ήταν οι κυριότεροι θεμελιωτές της. Η θεωρία παιγνίων είναι ένας κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών με πολλές εφαρμογές στα οικονομικά, σε άλλες επιστήμες και φυσικά στα τυχερά παιχνίδια. Αναλυτικότερα:
Η θεωρία παιγνίων (game theory) ξεκίνησε σαν κλάδος των οικονομικών με το σπουδαίο βιβλίο των Τζον φον Νόιμαν (John von Neumann) και Όσκαρ Μόργκενστερν (Oskar Morgenstern) Theory of Games and Economic Behaviour (Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά) πάνω σε παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος (zero-sum games). Το κύριο αντικείμενό της είναι η ανάλυση των αποφάσεων σε καταστάσεις (παιχνίδια) στρατηγικής αλληλεπίδρασης (strategic interdependence). Πλέον, η θεωρία παιγνίων εντάσσεται πλήρως στον κλάδο των εφαρμοσμένων μαθηματικών και οι εφαρμογές της είναι πολλές και ενδιαφέρουσες.
Στους περαιτέρω θεμελιωτές ανήκουν
  • ο Τζων Φορμπς Νας (John Forbes Nash) (η ζωή του έγινε θέμα της ταινίας «ένας υπέροχος άνθρωπος»), ο οποίος γενίκευσε το πρόβλημα σε παιχνίδια μη μηδενικού αθροίσματος και πρόσφερε σαν λύση την ισορροπία Νας (Nash Equilibrium)
  • ο Ράινχαρντ Ζέλτεν (Reinhard Selten) άνοιξε το δρόμο για ικανοποιητική λύση του προβλήματος σε δυναμικά παιχνίδια με την έννοια της ισορροπίας στα υποπαιχνίδια (Subgame Perfect Nash Equilibrium) και της ισορροπίας τρεμάμενου χεριού (trembling hand perfect equilibrium)
  • ο Τζων Χαρσάνυι (John Harsanyi) ασχολήθηκε με παιχνίδια υπό μερική πληροφόρηση (Incomplete Information).
Για τις εργασίες τους τιμήθηκαν οι τρεις τελευταίοι το 1994 με το βραβείο της Σουηδικής Ακαδημίας Επιστημών στην μνήμη του Άλφρεντ Νομπέλ (Alfred Bernhard Nobel). Είναι σίγουρο βέβαια ότι αν ο Τζον φον Νόιμαν ζούσε θα μοιραζόταν και αυτός το βραβείο.
Τα τελευταία 30 χρόνια, η θεωρία παιγνίων έχει βρει ευρύτατη εφαρμογή στα οικονομικά, όπου ολόκληροι κλάδοι στηρίζονται στις μεθόδους της, όπως π.χ. η βιομηχανική οργάνωση (industrial organisation), ο σχεδιασμός μηχανισμών (mechanism design) με σπουδαιότερο υποκλάδο τον σχεδιασμό δημοπρασιών (auctions) κ.α.
Επίσης, η θεωρία παιγνίων χρησιμοποιείται και στην Πολιτική Οικονομία και ειδικά στη θεωρία της συλλογικής δράσης (Collective action), όπου εξηγεί ενδεχόμενα συνεργασίας μεταξύ των παικτών. Στη συγκεκριμένη εκδοχή, μιλάμε για παίγνια συνεργασίας (Cooperative Game Theory). Αυτό βρίσκεται σε άμεση συσχέτιση με τον ρόλο του κράτους και των θεσμών σε θέματα συνεργασίας. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η παροχή δημόσιων αγαθών και η φορολογία.
Επιπρόσθετα χρησιμοποιείται όμως ευρέως και σε άλλες επιστήμες, όπως εξελικτική βιολογία, ψυχολογία, κοινωνιολογία κλπ.
Το 2005 οι θεωρητικοί παιγνίων Τόμας Σέλλινγκ (Thomas Schelling) και Ρόμπερτ Άουμαν (Robert Aumann) κέρδισαν το Βραβείο Νομπέλ για τις Οικονομικές Επιστήμες.
Μια σύγχρονη μαθηματική θεωρία μπορεί να αναλύσει κάθε είδος αναμέτρησης, από την ντάμα και το σκάκι μέχρι τον «τζόγο» ή έναν πυρηνικό πόλεμο, και να προβλέψει τον νικητή.
Η φύση αποτελεί το μεγαλύτερο εργαστήριο πειραμάτων. Πράγματι, για να επεξεργαστούν μια θεωρία, οι επιστήμονες συνήθως ξεκινούν παρατηρώντας τη φύση, στη συνέχεια αφαιρούν τα μη ουσιώδη στοιχεία και τέλος δοκιμάζουν να κάνουν προβλέψεις για αυτό που θα έπρεπε να συμβεί σε απόλυτα ελεγχόμενες πειραματικές συνθήκες. Αυτό έκανε ο Ισαάκ Νεύτων για να επεξεργαστεί τη θεωρία της παγκόσμιας έλξης: παρατήρησε ότι τα σώματα πέφτουν, παράβλεψε την τριβή με τον αέρα και εφάρμοσε τις υποθέσεις του για την αμοιβαία έλξη ακόμα και στους πλανήτες. Η παρατήρηση των τροχιακών κινήσεών τους επιβεβαίωσε τους συλλογισμούς του.

«Ανθρώπινες» εξισώσεις

Ο Τζον Νας, τη δεκαετία του ’50, έκανε κάτι παρόμοιο δημιουργώντας ένα νέο μαθηματικό πεδίο που ονομάστηκε «θεωρία παιγνίων»: παρατήρησε πώς συμπεριφέρονται οι άνθρωποι σε διάφορες καταστάσεις, έφτιαξε ένα απλοποιημένο σχήμα των σχέσεων και των ενεργειών τους και επεξεργάστηκε κάποιες εξισώσεις που τις περιέγραφαν. Το αποτέλεσμα δεν ήταν βέβαια ο μαθηματικός τύπος των ανθρώπινων σχέσεων, όμως αποδείχτηκε αρκετά σημαντικό ώστε να του χαρίσει το νόμπελ οικονομίας το 1994.
Το 2000 ο Κρις Φέργκιουσον κέρδισε το πρώτο βραβείο και 1,5 εκατομμύριο δολάρια, στο Poker World Series Champion στο Λας Βέγκας. Στο τουρνουά συμμετείχαν περίπου 500 παίκτες, όμως ο Φέργκιουσον, που είχε το παρατσούκλι «Ιησούς» λόγω των γενειάδας και των μακριών μαλλιών του, κατάφερε να τους νικήσει όλους, ακόμα και παίκτες πολύ πιο έμπειρους από εκείνον, χάρη στη θεωρία παιγνίων.
Η εποχή με τους παίκτες που είναι προικισμένοι μόνο με ταλέντο έχει περάσει ανεπιστρεπτί. Για να νικήσει κάποιος στο πόκερ, εκτός από τα απαραίτητα χαρίσματα της πειθαρχίας και της υπομονής, πρέπει να έχει και μαθηματική ικανότητα, για να μπορεί να υπολογίζει τις επιπτώσεις κάθε κίνησης. Πράγματι, ο Φέργκιουσον ανέλυσε ένα μεγάλο αριθμό παρτίδων, για να επεξεργαστεί τη νικηφόρα στρατηγική του.

Βομβαρδίστε την ΕΣΣΔ!

«Αν παίζουν δύο, συμφέρει να μπλοφάρεις μόνο όταν έχεις τα χειρότερα χαρτιά, όχι όταν έχεις μέτρια». Αυτός ο κανόνας αναφέρεται στο βιβλίο Theory of Games and Economic Behaviour (1944) του μαθηματικού Τζον φον Νόιμαν και του οικονομολόγου Όσκαρ Μόργκενστερν, που συγκαταλέγονται τους θεμελιωτές της θεωρίας παιγνίων.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μείνει μόνο δύο παίκτες. Ο μοναδικός τρόπος για να κερδίσω ενώ έχω τα χειρότερα χαρτιά είναι να μπλοφάρω. Αν περιμένω την κίνηση του αντίπαλου, θα χάσω, είτε αυτός ποντάρει είτε όχι.
Τον Φον Νόιμαν τον ενδιέφερε το πόκερ μόνο ως σημείο αφετηρίας για μια θεωρία που θα εξηγούσε κάθε είδος ανθρώπινης σχέσης, από την οικονομία ως τις σχέσεις των ζευγαριών. «Η ζωή είναι γεμάτη μπλόφες», υποστήριζε, «γεμάτη μικρές τακτικές παραπλάνησης: αυτό αποκρυπτογραφούν τα παιχνίδια της θεωρίας μου». Στόχος ομολογουμένως πολύ φιλόδοξος, ακόμα και γι’ αυτόν τον εκκεντρικό επιστήμονα που, όπως λέγεται, κατάφερνε να απομνημονεύσει μια σελίδα του τηλεφωνικού καταλόγου μέσα σε λίγα λεπτά. Όμως πολλά συμπεράσματα του Φον Νόιμαν ισχύουν ακόμα σε μεγάλο βαθμό, παρ’ όλο που κάποια οδήγησαν σε παράδοξες προτάσεις. Για παράδειγμα, μετά το Β΄ Παγκόσμιο πόλεμο υπήρχε μεγάλη ένταση ανάμεσα στην ΕΣΣΔ και τις ΗΠΑ. Βασισμένος στη θεωρία παιγνίων, ο Φον Νόιμαν προέβλεψε ότι, όταν η Σοβιετική Ένωση κατασκεύαζε την ατομική βόμβα, θα ξεκινούσε ένας φρενήρης συναγωνισμός πυρηνικών εξοπλισμών. Για να αποφευχθεί αυτό το αδιέξοδο, ο Φον Νόιμαν πρότεινε μια δραστική λύση: να βομβαρδιστεί με πυρηνικά η ΕΣΣΔ για προληπτικούς λόγους. Ευτυχώς δεν εισακούστηκε.

Συνεργασία αντί ανταγωνισμού


Από αυτό το επεισόδιο μπορεί να δημιουργηθεί η εντύπωση ότι Φον Νόιμαν απέκλειε τη δυνατότητα συνεργασίας. Ωστόσο ο ίδιος έθεσε τη συνεργασία στους ακρογωνιαίους λίθους της θεωρίας του. Γνώριζε, πράγματι, ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η συνεργασία είναι επωφελής. Όπως σε μια σκηνή της ταινίας Ένας υπέροχος άνθρωπος που περιγράφει τη ζωή του μαθηματικού Τζον Νας: σε ένα μπαρ βρίσκονται τέσσερις φίλοι που διασκεδάζουν, ενώ ο Νας είναι απορροφημένος με τη δουλειά του. Η πόρτα ανοίγει και μπαίνουν πέντε κοπέλες, μια εντυπωσιακή ξανθιά και τέσσερις μελαχρινές. Οι τέσσερις φίλοι γοητεύονται από την ξανθιά και προκαλούν ο ένας τον άλλο για το ποιος θα καταφέρει να την κατακτήσει. Ο Νας όμως κάνει την εξής παρατήρηση: «Αν προσπαθήσετε όλοι να κατακτήσετε την ξανθιά, θα ακυρώσετε αμοιβαία τις προσπάθειές σας και στη συνέχεια, όταν θα συμβιβαστείτε με τις μελαχρινές, εκείνες θα σας απορρίψουν, γιατί καμιά γυναίκα δεν θέλει να αποτελεί τη δεύτερη επιλογή. Ο μοναδικός τρόπος για να κερδίσετε είναι να δοκιμάσει καθένας με μια μελαχρινή και κανένας με την ξανθιά». Αυτή η ιστορία, παρ’ όλο που πλάστηκε στο μυαλό των σεναριογράφων της ταινίας και όχι του ίδιου του Νας, μας διδάσκει ότι το καλύτερο σύστημα δεν είναι πάντα αυτό στο οποίο καθένας αγωνίζεται για το ατομικό συμφέρον του.



Ποιος έχει το πάνω χέρι;

Όμως τα λεγόμενα «συνεργατικά παιχνίδια» είναι εξαιρετικά πολύπλοκα. Για παράδειγμα, είναι δύσκολο να καθορίσουμε ποιος από τους πολλούς μετόχους μιας εταιρείας έχει τον έλεγχο, γιατί οι πιθανές συμμαχίες καθιστούν απρόβλεπτη την κατάσταση.
Ας υποθέσουμε ότι το ελληνικό κράτος αποφασίζει να ιδιωτικοποιήσει μια εταιρεία και πρέπει να καθορίσει το ποσοστό που μπορεί να πουλήσει ώστε να συνεχίσει να έχει τον έλεγχό της. Σε πρώτη ανάγνωση φαίνεται ότι, κρατώντας το 51% των μετοχών, το κράτος παραμένει το αφεντικό. Αυτή η απόφαση είναι έξυπνη από οικονομική άποψη; Η απάντηση είναι όχι. Το κράτος μπορεί να συνεχίσει να βρίσκεται στο τιμόνι της εταιρείας κρατώντας το 35% ή και ακόμα λιγότερο. Φυσικά χρειάζεται πολλή προσοχή, γιατί αν το κράτος κρατήσει το 35% και πουλήσει το υπόλοιπο 65% σε ένα μεγιστάνα, η εταιρεία δεν ανήκει πλέον στο ελληνικό κράτος αλλά στο μεγιστάνα. Αν θέλει να διατηρήσει τον έλεγχο, πρέπει να φροντίσει ώστε οι υπόλοιπες μετοχές να καταλήξουν στα χέρια χιλιάδων μικρομετόχων.


Κάλλιο πέντε…

Σε κάποια παιχνίδια δεν προβλέπεται η συνεργασία, αλλά μπορεί να εκδηλωθεί αυθόρμητα. Ένα γνωστό παράδειγμα είναι το «δίλημμα του κατηγορούμενου»: δύο εγκληματίες ύποπτοι για τη συμμετοχή σε μια ληστεία συλλαμβάνονται και ανακρίνονται χωριστά. Ο ανακριτής λέει και στους δύο: «Γνωρίζουμε ότι είστε ένοχοι. Αν εσύ ομολογήσεις και ο συνεργός σου δεν ομολογήσει, θα είσαι ελεύθερος και ο φίλος σου θα εκτίσει ποινή δεκαετούς φυλάκισης. Αν όμως ομολογήσετε και οι δύο, θα μοιραστείτε την ποινή: 5 χρόνια έκαστος. Σε περίπτωση που δεν ομολογήσει κανείς σας, θα πάρετε το ελάχιστο, 1 χρόνο έκαστος. Σε πληροφορώ ότι ο συνεργάτης μου κάνει την ίδια κουβέντα με το συνεργό σου. Τι αποφάσισες να κάνεις;». Οι δύο παίκτες έχουν όλες τις πληροφορίες (το παιχνίδι είναι «πλήρους πληροφόρησης»), αλλά βρίσκονται χωριστά και δεν μπορούν να επικοινωνήσουν (το παιχνίδι είναι «μη συνεργατικό»).
Για τα παιχνίδια αυτού του είδους ο Νας απέδειξε, εν έτει 1950, την ύπαρξη μιας ισορροπίας, δηλαδή ενός συνδυασμού «βέλτιστων» στρατηγικών. Στο δίλημμα του φυλακισμένου, η ισορροπία του Νας προβλέπει ότι θα ομολογήσουν και οι δύο. Πράγματι, ο κίνδυνος δεκαετούς φυλάκισης ξεπερνά το δυνητικό όφελος από τη φυλάκιση ενός μόνου χρόνου.
Τα αποτελέσματα αυτού του είδους μπορεί να μοιάζουν προφανή, όμως οι ίδιες τεχνικές υπολογισμού μπορούν να εφαρμοστούν σε καταστάσεις όλο και πιο πολύπλοκες, παρέχοντας λιγότερο προφανή αποτελέσματα.

Το δίλημμα του καφέ

Η θεωρία του Νας είναι εμπνευσμένη από ένα μαθηματικό μοντέλο του 1838 του Γάλλου οικονομολόγου Αντουάν Ογκιστέν Κουρνό, στο οποίο δύο εταιρείες αγωνίζονται για την κυριαρχία στο ίδιο κομμάτι της αγοράς.
Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να προκύψει μια κατάσταση παρόμοια με το δίλημμα του κατηγορούμενου, όπως το εξής παράδειγμα: σε μια περιοχή υπάρχουν μόνο δύο καφετέριες και ο νόμος λέει ότι στην αρχή κάθε μήνα οι δύο ιδιοκτήτες πρέπει να ορίζουν την τιμή του καφέ για όλο τον προσεχή μήνα. Οι επιτρεπόμενες τιμές είναι μόνο δύο: 1 ευρώ και 1,5 ευρώ. Αν οι δυνητικοί πελάτες είναι πάντα οι ίδιοι, πόσο θα χρεώνουν τον καφέ οι δύο καφετέριες; Με την υψηλή ή τη χαμηλή τιμή; Οι δύο ιδιοκτήτες μπορούν να συμφωνήσουν και να κρατήσουν την τιμή στο 1,5 ευρώ. Οι πελάτες θα μοιραστούν δίκαια και στις δύο καφετέριες. Όμως αν ένας από τους δύο χαμηλώσει την τιμή, θα «κλέψει» πελάτες του άλλου και συνεπώς θα κερδίζει περισσότερα. Όπως στο προηγούμενο δίλημμα, οι παίκτες τείνουν να «προδίδουν» ο ένας τον άλλο. Η κύρια διαφορά ανάμεσα στα δύο παιχνίδια είναι ότι το «δίλημμα του καφέ» επαναλαμβάνεται, άρα μπορεί να προκύψει η συνεργασία.
Αν κάποιος από τους δύο προδώσει τον άλλο, πρέπει να περιμένει ότι στο μέλλον ο αντίπαλός του θα κάνει το ίδιο. Είναι λοιπόν πιθανό να κρατήσουν και οι δύο την τιμή στο 1,5 ευρώ σχηματίζοντας ένα «καρτέλ» ακόμα και χωρίς συγκεκριμένη συμφωνία. Αυτό εξηγεί γιατί είναι πολύ δύσκολο για τους ελέγχους αντιτράστ να αποδείξουν την ύπαρξη των «καρτέλ»: μπορεί να υπάρχει σύμπραξη ανάμεσα σε εταιρείες που δραστηριοποιούνται στον ίδιο τομέα ακόμα και χωρίς συγκεκριμένες μυστικές συμφωνίες.

Τριψήφιο κόλπο

Μια συγκεκριμένη περίπτωση στην οποία, κατά τη διάρκεια ενός μη συνεργατικού παιχνιδιού, αναπτύχθηκε μια μορφή συνεργασίας είναι οι πλειστηριασμοί συχνοτήτων τηλεφωνίας που προκηρύσσονταν στις ΗΠΑ από το 1994. Αρχικά όλα έβαιναν καλώς, αλλά το 1997 κάτι άλλαξε. Εκείνη τη χρονιά το αμερικανικό κράτος κέρδισε από τις πωλήσεις των συχνοτήτων μόλις το 1% του ποσού που είχε προβλέψει: σαν να λέμε ότι βγάζοντας ένα σπίτι σε πλειστηριασμό θα κέρδιζε κάποιος 5.000 ευρώ αντί για 500.000. Αν οι εταιρείες που πλειοδοτούσαν συναγωνίζονταν η μία την άλλη σε κάθε συχνότητα χωριστά, θα ανέβαζαν πολύ τη ζήτηση και συνεπώς θα η τελική τιμή θα ήταν πολύ ακριβή. Άρχισαν λοιπόν να ανταλλάσσουν σινιάλα με ένα ευφυές σύστημα που οι διοργανωτές της δημοπρασίας δεν είχαν προβλέψει: για τις εταιρείες που συμμετείχαν στη δημοπρασία δεν είχε μεγάλη διαφορά να ξοδέψουν 1.537.000 δολάρια ή 1.537.385… όμως η δεύτερη προσφορά περιείχε ένα μήνυμα προς τους άλλους, το οποίο αναφερόταν στη συχνότητα που προτιμούσε αυτός που έκανε την προσφορά. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κώδικα, οι συμμετέχοντας στη δημοπρασία κατάφεραν να συμφωνήσουν χωρίς ποτέ να συναντηθούν.
Μετά από λίγα χρόνια όμως, μια άλλη δημοπρασία για δικαιώματα κινητής τηλεφωνίας που έγινε στην Αγγλία οργανώθηκε από ειδικούς στη θεωρία παιγνίων, οι οποίοι εμπόδισαν αυτές τις παράνομες συνεννοήσεις: η προσφορά στρογγυλοποιούνταν εξαλείφοντας τα τρία τελευταία ψηφία, άρα τα 1.537.385 δολάρια γίνονταν 1.537.000. Ξέσπασε έτσι το αντίθετο αποτέλεσμα: καθώς ανέβαιναν οι προσφορές, οι συμμετέχοντες πείθονταν αμοιβαία για την αξία των δημοπρατούμενων αδειών και ανέβαζαν την προσφορά. Αυτό το σοβαρότατο «παιχνίδι» μας διδάσκει ότι, για να έχει όφελος ο δημοπράτης σε έναν πλειστηριασμό, πρέπει να εμποδίσει τη συνεργασία, διαφορετικά κινδυνεύει να βρεθεί σε ένα παιχνίδι τελείως διαφορετικό από αυτό που είχε διοργανώσει.

Ασφαλιστικές δικλείδες

Μια παρόμοια οικονομική συναλλαγή είναι η πώληση ενός μεταχειρισμένου αυτοκινήτου. Εδώ όμως οι δύο πρωταγωνιστές (ο πωλητής και ο αγοραστής) έχουν διαφορετικό βαθμό πληροφόρησης. Ενώ ο πωλητής γνωρίζει πλήρως τα προτερήματα και τα ελαττώματα του εμπορεύματός του, ο αγοραστής δεν μπορεί παρά να έχει μια ανακριβή ιδέα. Γι’ αυτό, αν πραγματοποιηθεί η πώληση, ο πωλητής κερδίζει περισσότερα από την πραγματική αξία του αυτοκινήτου, ενώ ο αγοραστής πάντα χάνει κάτι. Μια αγορά με αυτούς τους «κανόνες» δε θα είχε λόγο ύπαρξης: για να λειτουργήσει, κάθε αγοραστής θα έπρεπε να έχει όλες τις απαραίτητες πληροφορίες.
Η συναλλαγή του παραδείγματος ανήκει σε μια μεγάλη κατηγορία καταστάσεων στις οποίες ένας από τους δύο πρωταγωνιστές διαθέτει περισσότερες πληροφορίες από τον άλλο. Χάρη στην ανάλυση αυτών των προβλημάτων, ο Τζ. A. Άκερλοφ, ο Μάικλ Σπενς και ο Τζόζεφ Στίγκλιτς κέρδισαν το βραβείο νόμπελ οικονομίας το 2001. Τα προβλήματα που ονομάζονται «πλήρους πληροφόρησης» είναι πολύ κοινά και συνεπώς πολύ σημαντικά. Η πώληση ενός οποιουδήποτε καταναλωτικού προϊόντος είναι ένα από αυτά. Πόσο θα αντέξει το κινητό που αγοράσαμε; Είναι φτιαγμένο με ποιοτικά ή φτηνά υλικά; Τη στιγμή της αγοράς δεν μπορούμε να είμαστε βέβαιοι. Γι’ αυτό υπάρχουν διάφορες ασφαλιστικές δικλείδες, όπως η εγγύηση και το δικαίωμα επιστροφής, που καθησυχάζουν τον καταναλωτή για την πραγματική αξία του προϊόντος.

Υπολογισμός της «ωφέλειας»

Στα παιχνίδια όπου μπορεί να καθοριστεί η «ωφέλεια» κάθε παίκτη μπορούν να βρεθούν πολύ συγκεκριμένες λύσεις. Ένα καλό παράδειγμα είναι η διαπραγμάτευση, την οποία μελέτησε ο Νας το 1950: δύο άτομα πρέπει να μοιραστούν ένα χρηματικό ποσό, ο ένας είναι πλούσιος ενώ ο άλλος όχι. Ενώ ο φτωχός, λόγω ανάγκης, θα ικανοποιηθεί ακόμα και με λίγα, ο πλούσιος, λόγω ισχύος, θα ευχαριστηθεί μόνο με πολλά χρήματα. Αυτό το μοντέλο οδηγεί σε ένα άνισο αποτέλεσμα. Στην περίπτωση που έλυσε ο Νας, αν το ποσό είναι 500 ευρώ, ο πλούσιος θα πάρει 310 ενώ ο φτωχός μόλις 190. Ο Νας λαμβάνει υπόψη ένα θεμελιώδη παράγοντα: τα πράγματα, ακόμα και το χρήμα, έχουν διαφορετική αξία για κάθε άτομο και αυτό επηρεάζει το παιχνίδι.
Αυτό το συμπέρασμα μπορεί να μοιάζει κυνικό, όμως η ίδια θεωρία μπορεί να εκφράσει συναισθήματα αγάπης, αλτρουισμού και φιλανθρωπίας. Ένα παράδειγμα είναι το παρακάτω. Ένας πατέρας παίζει μουτζούρη με το μικρό γιο του και οι κανόνες είναι απλοί: χάνει όποιος μείνει στο τέλος με το μουτζούρη. Αν το παιδί με κάποιον τρόπο δώσει στο γονέα του να καταλάβει ποιο χαρτί είναι ο μουτζούρης, παρ’ όλο που οι κανόνες προβλέπουν ότι χάνει αυτός που μένει με το μουτζούρη, ο πατέρας και πάλι θα το πάρει. Γιατί σε αυτή την περίπτωση η ωφέλειά του δεν είναι τόσο να νικήσει ο ίδιος όσο να δει το παιδί ευχαριστημένο. Ο αλτρουισμός των παικτών είναι ένα στοιχείο του παιχνιδιού και πρέπει να λαμβάνεται υπόψη προκειμένου η θεωρία να περιγράψει, έστω και τμηματικά, τη ζωή.



Τρίτη 10 Απριλίου 2012

 Οι καλλιτέχνες των μαθηματικών.
Από την αρχή ακόμα, την εποχή δηλαδή που τέθηκαν τα πρώτα θεμέλια των μαθηματικών, η επιστήμη αυτή χωρίστηκε σε δύο μεγάλους κλάδους· την Αριθμητική και την Γεωμετρία. Η μελέτη των σχημάτων και των ιδιοτήτων τους ήταν πάντα μια προσφιλής ενασχόληση των μαθηματικών όλων των εποχών. Σε αντίθεση όμως με τον κλάδο που ασχολείται με τους αριθμούς η Γεωμετρία έχει το μεγάλο πλεονέκτημα να είναι εξίσου δημοφιλής και στους μη έχοντες ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις.
Στα μαθηματικά, το σχήμα θα παίζει πάντα πρωταγωνιστικό ρόλο. Από τα πιο απλά όπως το τρίγωνο, η σφαίρα και ο μαίανδρος μέχρι και τα πιο πολύπλοκα, τα γεωμετρικά σχήματα ασκούν μια παράξενη γοητεία στο ανθρώπινο πνεύμα. Δεν είναι λοιπόν παράξενο που από την αρχαιότητα η μελέτη της γεωμετρίας συνδέθηκε με όλες σχεδόν τις εκδηλώσεις του ανθρώπινου πολιτισμού. Οι πυραμίδες για παράδειγμα πολύ συχνά χρησιμοποιηθήκαν ως θρησκευτικοί χώροι και πολλά σχήματα όπως ο μαίανδρος που προαναφέρθηκε, χρησιμοποιήθηκαν για τον διάκοσμο των ναών. Οι Πυθαγόρειοι εκτός από τις πολλές μυστικιστικές αντιλήψεις που είχαν για τα σχήματα, συσχέτιζαν την μελέτη τους και με την Αστρονομία, την οποία αποκαλούσαν Γεωμετρία σε κίνηση. Ο Πλάτωνας στην είσοδο της φιλοσοφικής του σχολής είχε μια πολύ κολακευτική για την επιστήμη της Γεωμετρίας επιγραφή, «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» που σημαίνει σε ελεύθερη απόδοση «όποιος δεν γνωρίζει γεωμετρία να μη εισέλθει». Αυτή η επιγραφή φυσικά, δεν τέθηκε ως απαγόρευση αλλά για να καταδείξει την σπουδαιότητα της γεωμετρίας ως βασική προϋπόθεση για την τέχνη της φιλοσοφίας. Όσο για την τέχνη γενικότερα, αυτή είναι η κατεξοχήν ανθρώπινη δραστηριότητα που επηρεάζεται από την γεωμετρία. Τον 20ο αιώνα μάλιστα φτάσαμε στο σημείο να δημιουργηθεί μια τεχνοτροπία στη ζωγραφική που ονομάστηκε Κυβισμός. Τόσο επαναστατική ήταν αυτή η νέα τεχνοτροπία που η ίδια και οι εκπρόσωποί της έγιναν παγκοσμίως γνωστοί. Ακόμα και όσοι από εσάς αγνοείτε τι ακριβώς είναι ο κυβισμός σίγουρα γνωρίζετε τουλάχιστον ένα εκπρόσωπο του, τον Πάμπλο Πικάσσο.

Άλλος όμως είναι ο ζωγράφος του οποίου ένα μεγάλο μέρος του έργου του είναι κυριολεκτικά μια γεωμετρική πανδαισία. Πρωτοπόρος της λεγόμενης αφηρημένης ή ανεικονικής ζωγραφικής ο Βασίλη Καντίνσκι έδωσε με τις καινοτομίες του και την νέα αντίληψη που κόμιζε για την ζωγραφική, μιαν άλλη πορεία στη τέχνη του 20ου αιώνα. Άνθρωπος με τεράστιες τεχνικές ικανότητες και βαθύτατο λυρισμό ο Καντίνσκι θεωρείται πια στις μέρες μας καλλιτεχνική μεγαλοφυΐα και ένας από τους σημαντικότερους καλλιτέχνες τις εποχής του. Ωστόσο δεν είναι μονάχα οι πίνακές του που τον καθιέρωσαν ως έναν από τους μεγάλους του περασμένου αιώνα. Στη πραγματεία του Για το Πνευματικό στην Τέχνη καταγράφονται οι θεωρίες και οι ιδέες που υποστηρίζουν την τάση του προς το αφηρημένο. Η εργασία του αυτή μαζί με κάποιες άλλες όπως τα βιβλία του Τέχνη και καλλιτέχνες και Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο τον καθιστούν ένα από τους σημαντικούς θεωρητικούς της τέχνης, δίνοντας του ακόμα μεγαλύτερη αίγλη.

Σαράντα περίπου χρόνια μετά το θάνατο του Καντίνσκι, ο Μπενουά Μάντελμπροτ ένας Γάλλος μαθηματικός, Πολωνικής καταγωγής, μας παρουσίασε κάποιους άλλους αναπάντεχους «μαθηματικούς καλλιτέχνες,» οι δημιουργίες των οποίων ξεπερνούν σε φαντασία, ευρηματικότητα αλλά και πολυπλοκότητα τα έργα πολλών απλών ζωγράφων. Στο βιβλίο Η μορφοκλασματική γεωμετρία της φύσης που εκδόθηκε το 1982 έχει συγκεντρώσει ένα πλήθος εκπληκτικών σχημάτων που δημιουργήθηκαν από ηλεκτρονικούς υπολογιστές ακολουθώντας μια πολύ απλή επαναληπτική διαδικασία. Τα σχήματα αυτά ονομάστηκαν από τον Μάντελμπροτ Fractals, στα ελληνικά Μορφοκλασματικές Δομές, και είναι κατά κάποιο τρόπο γραφικές παραστάσεις κάποιων εξισώσεων. Το βιβλίο αυτό σημείωσε τόσο μεγάλη επιτυχία που μέχρι σήμερα δεν υπάρχουν πολλά βιβλία μαθηματικών που να γνώρισαν τέτοια αποδοχή απ’ το ευρύ κοινό .

Τι είναι όμως μια Μορφοκλασματική Δομή; Καταρχάς είναι ένα σχήμα τόσο πολύπλοκο που δεν μπορεί να οριστεί με τους κανόνες και τους όρους της κλασικής ευκλείδειας γεωμετρίας. Ο ορισμός του γίνεται με βάση μιαν επαναληπτική διαδικασία και η δημιουργία του, συνήθως, με την ευεργετική συνδρομή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ένα από τα βασικότερα χαρακτηριστικά του είναι η αυτό-ομοιότητα σε διάφορες κλίμακες. Με τον όρο αυτό-ομοιότητα εννοούμε ότι με μεγέθυνση σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του μπορούμε να δούμε είτε ολόκληρο το ίδιο το σχήμα είτε απλά ένα μέρος του.

Τέτοια σχήματα όπως προαναφέρθηκε είναι αποτέλεσμα μίας επαναληπτικής διαδικασίας, που συνήθως είναι πολύ απλή. Δείτε για παράδειγμα την κατασκευή του τάπητα του Σιερπίνσκι, μιας από τις πρώτες μορφόκλασματικές δομές που δημιουργήθηκαν. Ο τάπητας του Σιερπίνσκι δημιουργείται αφαιρώντας διαδοχικά το μεσαίο τετράγωνο από το μεγαλύτερο τετράγωνο που ήδη υπάρχει.
Αν όμως αντικαταστήσουμε αυτή την επαναληπτική διαδικασία με μιαν άλλη και προσθέσουμε χρώματα μπορεί να προκύψουν υπέροχα σχήματα. Το σύνολο του Μάντελμπροτ που φαίνεται παρακάτω είναι ένα από αυτά. Παρατηρήσετε την αυτό – ομοιότητα που εμφανίζεται τόσο στην περιφέρεια όσο και στις λεπτομέρειες μ’ ένα κυριολεκτικά εκπληκτικό τρόπο.

Η αλήθεια όμως είναι πως οι πραγματικοί καλλιτέχνες δεν είναι ούτε οι μαθηματικοί τύποι που δημιουργούν αυτές τις γραφικές παραστάσεις ούτε βέβαια οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές με την βοήθεια των οποίων τις σχεδιάζουμε, αλλά οι άνθρωποί που αναδεικνύουν αυτά τα αριστουργήματα. Αυτοί που επιλέγουν εκτός από τους κατάλληλους τύπους και τα σωστά χρώματα, αυτοί που μας δίνουν την ευκαιρία να απολαύσουμε τέτοια ομορφιά εκεί που πραγματικά δεν το περιμένουμε