Βλέποντας τον Υπερκύβο.

Το πρώτο αντικείμενο του παράξενου κόσμου των 4 διαστάσεων είναι ο υπερκύβος.

Στις 3 διαστάσεις (μήκος , πλάτος , ύψος) έχουμε τον κύβο. Το αντίστοιχο σχήμα

του κύβου στις 4 διαστάσεις είναι ο υπερκύβος. Πώς φτιάχνεται όμως; Αν

μετακινήσουμε έναν κύβο κατά μια μονάδα κάθετα ως προς τον εαυτό του ,τότε

το σχήμα που θα προκύψει είναι ο υπερκύβος. Βέβαια αυτή η κίνηση δεν μπορεί

να πραγματοποιηθεί στον γνωστό μας τρισδιάστατο χώρο , παρά μόνο στον

τετραδιάστατο γι'αυτό και δεν μπορούμε να τη δούμε , αλλά να τη φανταστούμε.

Προβολή ενός περιστρεφόμενου υπερκύβου σε διδιάστατο

προβολικό χώρο που δίνει την εντύπωση του τριδιάστατου.

Ο υπερκύβος έχει 32 ίσες ακμές , 16 κορυφές , οι ακμές του σχηματίζουν 16 ίσα

τετράγωνα , ενώ μπορούμε να εντοπίσουμε σε αυτόν 8 ίσους κύβους.

Η τρισδιάστατη απεικόνηση του (ανάπτυγμα) φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

Ο υπερκύβος έχει αποτελέσει αντικείμενο φιλοσοφικών και μεταφυσικών

συζητήσεων και έχει εμπνεύσει ζωγράφους , όπως τον Salvador Dali

(Corpus Hypercubus , 1954)

Ο παραπάνω πίνακας εκτίθεται στο Μητροπολιτικό Μουσείο της Νέας Υόρκης και παριστάνει τον Εσταυρωμένο πάνω στο ανάπτυγμα ενός Υπερκύβου που μοιάζει με σταυρό. Στο έργο αυτό είναι φανερός ο υπαινιγμός για την πραγματική φύση του Θεανθρώπου. Το μυστήριο της θείας φύσης Του κρύβεται στα νήματα της μη αισθητής φύσης του τετραδιάστατου υπερχώρου.

Εκείνο που μπορούμε να κατανοήσουμε σε σχέση με αυτόν είναι η προβολή του υπεραισθητού γίγνεσθαι στον τρισδιάστατο χώρο.

(Από το βιβλίο των Μ.Δανέζη-Στρ.Θεοδοσίου, “Η Κοσμολογία της νόησης”)

Πηγές:

http://blogystera.wordpress.com/2007/09/21/texnh/

http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι αφηρημένες αριστοτελικές μορφές.

Το περιεχόμενο του άρθρου σχετίζεται με τη φιλοσοφική διαπραγμάτευση για την ύπαρξητων μαθηματικών αντικειμένων. Ποια είναι η σχέση των μαθηματικών με την πραγματικότητα; Που υπάρχουν τα μαθηματικά αντικείμενα;

Στους Έλληνες έχουμε τις δύο αιώνιες αντιπαλότητες: τις Πλατωνικές και τις Αριστοτελικές μορφές.

Ο Πλάτωνας υποστήριζε ότι αντικείμενο των μαθηματικών είναι το αιώνιο και αμετάβλητο βασίλειο των ιδεών, άρα δεν ψάχνουμε καμιά σχέση με την πραγματικότητα που γνωρίζουμε. Τα μαθηματικά αντικείμενα , όπως οι αριθμοί και τα γεωμετρικά αντικείμενα, δεν δημιουργούνται, δεν καταστρέφονται και δεν μπορούν να μεταβληθούν.

Πρόκειται για τη γνώση του αιωνίου όντος και όχι αυτού που πότε χάνεται και πότε γεννιέται……..(Πολιτεία)

αν και μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο αιώνιος κόσμος του Πλάτωνα είναι η φαντασία μας, αφού μόνον εκεί δεν κυλάει ο χρόνος και σταματούν οι μεταβολές, πράγμα που τον εξαιρεί από τις φυσικές έννοιες, αφού δεν ορίζεται εκτελεστικά.

Τα μαθηματικά αντικείμενα στον Αριστοτέλη έχουν να κάνουν την έννοια της Αριστοτελικής μορφής, που είναι άλλο πράγμα.

Τι είναι η μορφή;

Η μορφή είναι τα πράγματα που γίνονται στην ύλη το τι εστί….Φυσικά 190 α 20

η μορφή και το πρότυπο, δηλαδή ο οριστικός λόγος που λέει το τι ήν είναι, και τα ανώτερα γένη στα οποία ο λόγος αυτός μπορεί να αναχθεί π.χ μορφή του διαπασών είναι η σχέση του δύο προς ένα και γενικότερα ο αριθμός. Φυσικά 194 β …..

Η μορφή είναι το σύνολο κάποιων ιδιαίτερων χαρακτηριστικών του σώματος που το καθορίζουν, και του δίνουν αναγνωρισιμότητα, καθορίζοντας τη λειτουργία του μέσα στον κόσμο. Είναι κρίσιμο να εννοήσουμε την έννοια της μορφής.

Όταν ένας εξωγήινος παρατηρήσει μια καρέκλα, δεν την κατανοεί πλήρως ποτέ, γιατί θα του διαφεύγει η μορφή, αυτό που δίνει αναγνωρισιμότητα στα πράγματα. Έτσι είμαστε και εμείς μπροστά στα φυσικά δημιουργήματα. Αν δεν συλλάβουμε τη μορφή , δηλαδή τη λειτουργία που δίνει νόημα στον ιδιαίτερο τρόπο συμπεριφοράς μέσα στην ολότητα, δεν κατανοούμε την πραγματικότητα, η γνώση μας είναι ελλιπής. Η γνώση της μορφής είναι το σπουδαιότερο και δυσκολότερο επίτευγμα. Με τη μορφή κατανοούμε τον κόσμο, με την ύλη τον γνωρίζουμε.

Η ύλη είναι το νερό της θάλασσας και η μορφή τα κύματα της θάλασσας.

Η μορφή δεν είναι το σχήμα της καρέκλας, αλλά το νόημα της καρέκλας, αυτό που κάνει όλες τις καρέκλες να είναι το ίδιο πράγμα (το πρότυπο), κι ας έχουν διαφορετικά σχήματα, κι αυτό το νόημα έχει σχέση με το σκοπό που εξυπηρετείται.[1]

η μορφή συλλαμβάνεται με το νου όχι με τις αισθήσεις. Η καρέκλα αναγνωρίζεται από τη λειτουργία της στο να καθόμαστε.

Η μορφή κουβαλάει όλο το Αριστοτελικό νόημα των σωμάτων.

Όμως τα χαρακτηριστικά αυτά της μορφής, όπως το βάρος στην πέτρα ή το μήκος κύματος στο κύμα, έχουν την ύπαρξή τους μέσα στο σώμα και δεν υπάρχουν αυτόνομα και καθ’ εαυτά, όπως υπάρχει η πέτρα ή το νερό. Δεν μπορούμε να πάρουμε το βάρος απ’ την πέτρα αλλά ολόκληρη την πέτρα. O κόσμος δεν είναι η πέτρα, ούτε το βάρος αλλά η πέτρα και το βάρος, ο κόσμος είναι πράγμα και νόημα (δεν εξετάζουμε τώρα το νόημα το οποίο είναι η σκοπιμότητα στη φύση και η ολιστική της θεώρηση, η καρδιά της Αριστοτελικής θεωρίας), γιατί αλλιώς θα ήταν ένα αυθαίρετο δημιούργημα του πνεύματος μας. Αυτό αποφεύγεται με τη διπλή έννοια της ύλης και της μορφής, που αποτελούν την ουσία. Προσοχή Οι μορφές του Αριστοτέλη είναι διαφορετικές απ’ τις Μορφές του Πλάτωνα. Για τον Πλάτωνα η Μορφή είναι πρωταρχική, τα υλικά σώματα είναι δευτερεύοντα, μια «αμυδρή αναπαράσταση» των Μορφών. H ύψιστη πραγματικότητα βρίσκεται σ’ αυτό που σκεφτόμαστε λογικά. Για τον Αριστοτέλη αντίστροφα, είναι αυτό που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις.. Αν δεν υπάρχουν τα στοιχειώδη σωματίδια δεν θα υπήρχε η μορφή που ονομάζεται στοιχειώδες σωματίδιο. Τίποτα δεν υπάρχει μέσα στη συνείδηση αν προηγουμένως δεν έχει περάσει απ’ τις αισθήσεις. Tα πράγματα στον εξωτερικό κόσμο έχουν μορφές αλλά δε υπάρχει ξεχωριστός κόσμος που φιλοξενεί αυτές τις μορφές όπως στο Πλάτωνα, οι μορφές ενυπάρχουν στα μεμονωμένα αντικείμενα και συμβάλουν αποφασιστικά στην κατανόηση του κόσμου.

Μορφές και νους

…η μορφή δεν μπορεί να χωριστεί απ’ τα πράγματα, εκτός με νοητική ενέργεια…Φυσικά 193 β 5,

Η φύση, διδάσκει ο Αριστοτέλης, είναι συγχρόνως διπρόσωπη και μια φυσική θεωρία πρέπει να μελετάει και τις δύο όψεις της, αυτό είναι το κεντρικό δόγμα της Αριστοτελικής φυσικής διδασκαλίας: Η φυσική έρευνα αποσκοπεί να φωτίσει την ουσία αυτού του δυϊσμού.

…Επειδή η φύση παρουσιάζεται με δύο απόψεις και ως μορφή και ως ύλη πρέπει να την εξετάσουμε σαν να

αναζητούσαμε την ουσία αυτού του δυϊσμού, αφού τα όντα δεν υπάρχουν ούτε χωρίς ύλη, ούτε ο υπαρκτός τους τρόπος είναι σαν της ύλης …Φυσικά 194 α 15

.. Η φύση είναι διττή , ύλη απ’ τη μια πλευρά και μορφή από την άλλη …..φυσικά 199α 33…εφ’ όσον η φύση είναι διττή , με ποια ασχολείται ο φυσικός; Ή μήπως με το σύνθετο των δύο; Αλλά αν ασχολείται με το σύνθετο, ασχολείται και με την κάθε μία. Ανήκει λοιπόν σε μία και την ίδια επιστήμη να γνωρίσει και τη μία και την άλλη (ύλη και μορφή). …Φυσικά 194 α 15

Πώς όμως συμβαίνει η κατανόηση αυτού του δυισμού, ο οποίος υπάρχει στη φύση; Ποια είναι η ουσία της αναζήτησης;

Συμβαίνει με την εμπλοκή του άϋλου νου στην ερμηνεία του υλικού κόσμου, δια μέσου της μορφής. Η μορφή είναι άϋλη, δεν είναι ύλη είναι λειτουργία, έχει για κατοικία της το νου του ανθρώπου, τον άυλο νου, που όντας άυλος εισάγει ένα στοιχείο αϋλότητας στον κόσμο που κατά τα άλλα είναι υλικός.

Σε τι ακριβώς αντιστοιχεί η μορφή στη σημερινή θεώρηση;

Η μορφή είναι αυτό που στη φυσική ονομάζουμε έννοια.

Και η προτροπή του Αριστοτέλη για την ουσία του δυισμού στο προηγούμενο απόσπασμα, εκφράζει τη σημασία που έχει για την ερμηνεία της φύσης η σωστή αντιστοίχηση των εννοιών στα πράγματα, που σήμερα έγινε αντικείμενο έρευνας από κορυφαίους θεωρητικούς φυσικούς.

Έναν τρόπο αντιστοίχησης, τον εκτελεστικό τρόπο ορισμού των εννοιών στη φυσική, εισάγει ο Bridgman 2300 χρόνια αργότερα αναγνωρίζοντας τη σημασία του δυισμού αυτού. Η αποτυχία της κλασσικής φυσικής για το Bridgman προέκυψε από το λανθασμένο τρόπο ορισμού των εννοιών, δηλαδή για τον Αριστοτέλη η λανθασμένη αντιστοίχηση της ύλης σε μορφή.

Το άϋλο του νου και το υλικό του εγκεφάλου είναι η αιτία που συλλαμβάνουμε τη διττή όψη της φύσης. Ο άνθρωπος είναι κατασκευασμένος όπως η φύση, έχει το λογισμικό να κατανοήσει τη διπλή πραγματικότητα. Αν ο νους ήταν υλικός φαίνεται ότι δεν θα χρειαζόμασταν τις μορφές, ούτε τις έννοιες, η νοημοσύνη μας θα ήταν όπως του υπολογιστή, θα γνωρίζαμε αλλά δεν θα κατανοούσαμε. Η υλική εικόνα των αισθήσεων παράγεται απ’ τον εγκέφαλο και η άυλη των μορφών παράγεται από το νου. Η διπλή αυτή κατασκευή του ανθρώπου βρίσκεται σε αρμονία με τη διττή υπόσταση της φύσης.

Άλλο νους, άλλο εγκέφαλος λοιπόν για τον Αριστοτέλη. Όπως και άλλο ύλη, άλλο μορφή. Το σημαντικό εδώ είναι ότι η σύγχρονη φυσιολογία φαίνεται να το επιβεβαιώνει.

…«Η άποψη ότι όλα τα νοητικά φαινόμενα μπορούν να αναχθούν σε μια επιχείρηση «αυτόματου τηλεφωνικού κέντρου»μέσα στον εγκέφαλο έχει αντιστραφεί. Οι άνδρες που αφιέρωσαν τη ζωή τους στη φυσιολογία και στη χειρουργική του εγκεφάλου, στρέφονται όλο και πιο πολύ προς την αντίθετη άποψη που θα μπορούσε να συνοψιστεί ο εγκέφαλος είναι εγκέφαλος, ο νους είναι νους , και δεν ξέρουμε πως γίνεται το δίδυμο».(Α Καίσλερ)

Τα μαθηματικά

Έτσι η επιστήμη τελικά είναι η κατανόηση των εμπειριών. Τι σημαίνει εδώ η λέξη κατανόηση; Σημαίνει τη διαδικασία εκείνη που κάνει τις εμπειρίες αναγνωρίσιμες και ίσως τελικά προβλέψιμες. Αυτό γίνεται με τα νοητά που συμπληρώνουν τις εμπειρίες, αυτά κατασκευάζονται από το νου και είναι οι «μορφές» των όντων. Όμως τη μορφή συμπληρώνει το πρότυπο, τα ανώτερα γένη….

…η μορφή και το πρότυπο, δηλαδή ο οριστικός λόγος που λέει το τι ήν είναι, και τα ανώτερα γένη στα οποία ο λόγος αυτός μπορεί να αναχθεί π.χ μορφή του διαπασών είναι η σχέση του δύο προς ένα και γενικότερα ο αριθμός. Φυσικά 194 β …..

Ο Ευκλείδης σε λεπτομέρεια από τη Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ, 1509.

Αυτό το πρότυπο της μορφής είναι τα μαθηματικά. Στα μαθηματικά μεταβαίνουμε με την «έννοια του αφαιρείν». Είναι συχνή η αναφορά που κάνει ο Αριστοτέλης στα μαθηματικά αντικείμενα αντιμετωπίζοντάς τα ως αφαιρέσεις (εξ” αφαιρέσεως, εν αφαιρέσει, δι” αφαιρέσεως) την οποία μέσα στα κείμενά του την εξηγεί πολλαπλώς. Στα «μετά τα Φυσικά Ζ11« μιλάει για την αφαίρεση του υλικού στοιχείου ενός αντικειμένου στη σκέψη π.χ του χαλκού από τον χάλκινο κύκλο, αλλού μιλάει για την αφαίρεση των κατά συμβεβηκώς ιδιοτήτων. Έτσι νοητικά μπορεί κανείς να διαχωρίσει επιφάνειες , γραμμές και σημεία από τα φυσικά αντικείμενα που τα περιέχουν, και οι φυσικές έννοιες να μετατραπούν σε μαθηματικές έννοιες.

...ο μαθηματικός εξετάζει τα αντικείμενα που προέρχονται από αφαίρεση , διότι τα μελετά αφού πρώτα αφαιρέσει κάθε αισθητή ιδιότητα,….και αφήνει μόνο το ποσό και το συνεχές …και τα παθήματα αυτών ενόσω είναι ποσά και συνεχή…..»μετά τα Φυσικά 1061α, 29″

…..Ο Αριστοτέλης έθεσε ως αίτημα κάποια νοητική ικανότητα αφαίρεσης με την οποία τα (μαθηματικά) αντικείμενα δημιουργούνται, ή αλλιώς παράγονται ή συλλαμβάνονται, με τη θεώρηση των φυσικών αντικειμένων. Κατά μία έννοια είναι οι μορφές των φυσικών αντικειμένων…τα μαθηματικά αντικείμενα που παράγονται μέσω αφαίρεσης δεν υπάρχουν πριν από-ή ανεξάρτητα από τα φυσικά αντικείμενα από τα οποία έχουν αφαρεθεί,,..σημειώστε ότι η αριθμητική και η γεωμετρία επαληθεύονται κυριολεκτικά από μια τέτοια ερμηνεία, στην οποία η μόνη εκκρεμότητα είναι μια εξήγηση της αφαίρεσης,….Shapiro

Τελικά οι μαθηματικές έννοιες μιλούν για τη μορφή των όντων και οι φυσικές έννοιες για την ύλη τους.

Παράδειγμα .

Ένα ακίνητο σκοινί (θα το θεωρήσουμε ύλη) μπορεί να πάρει τη μορφή του κύματος (μορφή), αν ταλαντώσουμε το ένα άκρο του. Η μορφή του κύματος αποτυπώνεται στην εξίσωση (ανώτερα γένη)

με Τ η τάση του σκοινιού, και ρ=m/L (μάζα ανά μονάδα μήκους)

Η εξίσωση (1) δεν δίνει απλώς το σχήμα του κύματος, αλλά έναν ειδικό τρόπο αλληλεπίδρασης του σκοινιού με το περιβάλλον, σαφώς διαφορετικό απ’ αυτόν που θα είχε το ακίνητο σκοινί, αλλά κι αν κινούνταν με διαφορετικό τρόπο. Η παράμετρος t που υπάρχει σ’ αυτήν εκφράζει το ‘ενεργεία’.

Εδώ υπάρχει το κύμα (μορφή) που είναι μια ‘διαταραχή που κινείται δια μέσου του ‘μέσου ‘, και το ίδιο το μέσο (για τη Φυσική είναι η ύλη).Το μέσο μπορεί να είναι το νερό ο αέρας το σκοινί και χαρακτηρίζεται απ’ τις φυσικές του ιδιότητες, πυκνότητα, θερμοκρασία, ελαστικότητα…αυτές οι ιδιότητες δεν χαρακτηρίζουν το κύμα (μορφή). Αυτά (τα κύματα) ξεχωρίζουν απ’ τις δικές τους ιδιότητες, πλάτος, μήκος κύματος, συχνότητα κλπ. Βλέπουμε ότι τα μαθηματικά του κύματος είναι οι ιδιότητες του κύματος, αφού έχουν αφαιρεθεί όλες οι ιδιότητες του μέσου.

...έργο των μαθηματικών είναι να μελετά τα παραπάνω θεωρώντας τα όχι ως ιδιότητες τω φυσικών αντικειμένων…μπορεί ο μαθηματικός να μελετά τις εν λόγω ιδιότητες σε απομόνωση από τη φυσική τους ύπαρξη, γιατί μπορεί η σκέψη να κάνει το διαχωρισμό…συνέπεια αυτού του διαχωρισμού στη σκέψη είναι αυτές οι ιδιότητες να πάψουν να υφίστανται τις αλλαγές που υφίστανται τα φυσικά αντικείμενα..»Φυσικά 193 β33 »

Ας προεκτείνουμε αυτή την ερμηνεία των Αριστοτελικών μορφών

Τι θα πει μήκος κύματος χωρίς κύμα; Θα πει καθαρή μορφή, δηλαδή μαθηματική περιγραφή, το ένα άκρο για τον Αριστοτέλη, το άλλο άκρο είδαμε, η καθαρή ύλη. Δηλαδή τα όρια της κατανόησης του κόσμου είναι ο κόσμος των δυνατοτήτων της καθαρής ύλης και ο κόσμος των μαθηματικών (καθαρή μορφή).

Η φανερή σήμερα τάση των μαθηματικών για γενίκευση που συντελείται με συνεχή αφαίρεση (μια τάση που επιβεβαιώνει σήμερα τις απόψεις του Αριστοτέλη), είναι η τάση να προσεγγίσουμε το όριο της κατανόησής μας. Αντίστοιχα η πορεία της φυσικής με τη μελέτη του «πολύ μικρού», είναι η τάση μας να περιγράψουμε το άλλο όριο, αφού εκεί μας οδηγούν οι έρευνες.

Αν θεωρήσουμε (μέχρι νεωτέρας) τη θεωρία των συνόλων ως μια «θεωρία των πάντων» στα μαθηματικά, και την ενέργεια ως την πρώτη ύλη, τότε αυτά είναι τα όρια της κατανόησης του κόσμου μας σήμερα. Πράγματι η ολιστική θεώρηση της φύσης που παράγουν οι μορφές, φαίνεται στην αποτύπωσή τους στα μαθηματικά: στα μαθηματικά όλα είναι ένα: τα σύνολα.

Πηγές:

όλα τα άρθρα για τον Αριστοτελισμό και τη φυσική είναι από το

«Η Αριστελική κίνηση και η σύγχρονη Φυσική» www.mpantes.gr (Αριθμός συμβολαίου πράξης κατάθεσης βιβλίου:5632/29-1-08)

Σκέψεις για τα μαθηματικά (εκδόσεις Πανεπιστημίου Πάτρας, EShapiro)

Ο Αριστοτέλης για όλους Mortimer J. Adler (Παπαδήμα)

[1] αυτή (η μορφή) θα είναι η τελική αιτία…Φυσικά199 α 33

Μαθηματικά και Φυσική – μια ιδιαίτερη σχέση

Posted on 21/01/2013

0

Η βασίλισσα των επιστημών, οι ιχνηλάτες φυσικοί και ο Καστοριάδης

Μια αναφορά του Πέτρου Δήτσα για το βιβλίο του Γιώργου Λ. Ευαγγελόπουλου, “Μαθηματικά και Φυσική, μια ιδιαίτερη σχέση“, Ευρασία, Αθήνα 2010

Δημοσιεύθηκε στο τεύχος Ιανουαρίου 2013 της “Αθηναϊκής Επιθεώρησης του Βιβλίου” (The Athens Review of Books)

Η δυναμική σχέση Μαθηματικών και Φυσικής καταγράφεται εμφατικά στις συναρπαστικές παράλληλες ιστορίες τους. Αυτή τη διαχρονική σχέση και ορισμένα προβλήματα που εγείρει, καθώς και τη συγκεκριμένη εντυπωσιακή αναζωογόνησή της τις τελευταίες δεκαετίες, έχει ως κεντρικό θέμα ο Γιώργος Λ. Ευαγγελόπουλος στο βιβλίο που θα μας απασχολήσει. Ο Γ.Ε. επιλέγει να ξεκινήσει με διαυγή παρουσίαση λίγων βασικών πηγών, επιλεγμένων ως έναυσμα και αρχικό πλαίσιο προβληματισμού, ενώ στη συνέχεια αποτιμά διαφορές και συμπλεύσεις και παρεμβαίνει κριτικά με τις απόψεις του και με τη συμβολή πολυάριθμων πηγών, στοχεύοντας σε μια αποδεκτή ανασύνθεση με ανοιχτά ερωτήματα. Η μεθοδολογία αυτή ταιριάζει στην σπάνιου εύρους επίμονη περιέργεια του συγγραφέα, ο οποίος, μετά από μακροχρόνια εντρύφηση, έχει τα εφόδια να διερευνά με εργαλειακή και κριτική επάρκεια ένα φάσμα θεμάτων που εκτείνεται από τα μαθηματικά, την πρώτη και μόνιμή του αγάπη, μέχρι την πρακτική φιλοσοφία των πολιτικών θεσμών, περιλαμβάνοντας ενδιάμεσα ορισμένα θέματα θεωρητικής φυσικής και προβλήματα όπου συναρθρώνεται η επιστημολογία με τη φιλοσοφία.[1]

Ως εναρκτήρια μορφοποίηση-έναυσμα παρουσιάζονται εκτενώς οι σχετικές απόψεις του Κορνήλιου Καστοριάδη, του μόνου ίσως σημαντικού κοινωνικού φιλοσόφου του 20ού αιώνα που προσπάθησε να κατανοήσει τις εξελίξεις των μαθηματικών και των βασικών επιστημών.[2] Αμέσως στη συνέχεια παρουσιάζονται αναλυτικά δύο ακόμα πηγές που εμπλουτίζουν τον προβληματισμό. Η μία είναι ένα απόσταγμα προσωπικής πείρας του Δημήτρη Χριστοδούλου, ενός από τους μεγαλύτερους εν ζωή μαθηματικούς φυσικούς, όπως διατυπώθηκε σε συνέντευξη στον Γ.Ε. για το περιοδικό Quantum την άνοιξη του 1995. Ως τελευταία αρχική πηγή επιλέγονται αποσπάσματα από την αδημοσίευτη διδακτορική διατριβή του Βασίλη Γ. Σακελλαρίου, φυσικού και διδάκτορα της Φιλοσοφίας της Επιστήμης, όπου διερευνώνται, με ενδιαφέρουσες εκτιμήσεις και με πολλαπλή τεκμηρίωση, τα πρόσφατα φαινόμενα αλληλεπίδρασης Φυσικής και Μαθηματικών που ο Γ.Ε. προσπαθεί να αναδείξει.

Ενώ οι παραπάνω πηγές δίνουν το πλαίσιο, ο αναγνώστης διαπιστώνει γρήγορα (και εγώ προσωπικά με ευχαρίστηση) ότι το βιβλίο συνομιλεί ζωηρά με πολλές άλλες πηγές, προσφέροντας στον αναγνώστη πλήθος διαφωτιστικών απόψεων και πληροφοριών. Γενικότερα, όλο το βιβλίο είναι ένας διαρκής διάλογος με συμμετοχή του συγγραφέα – προφανώς η μορφή προβληματισμού που έλκει τον Ευαγγελόπουλο. Οι πηγές παρουσιάζονται εν μέρει στο κυρίως κείμενο, αλλά επίσης στις πολλές, συχνά αναλυτικές, σημειώσεις, συγκεντρωμένες στο τέλος του βιβλίου. Οι σημειώσεις αποτελούν οργανικό μέρος του βιβλίου και αντικατοπτρίζουν την ακόρεστη περιέργεια και αφομοιωτική ευρυμάθεια του συγγραφέα.

Η πραγμάτευση προχωρά σε δύο συχνά επικοινωνούντα ή εναλλασσόμενα, αλλά εννοιολογικά διακριτά επίπεδα, τα οποία θα χαρακτηρίσω σχηματικά ως ιστορικό-πραγματολογικό και φιλοσοφικό-επιστημολογικό.

Το ιστορικό-πραγματολογικό επίπεδο αναφέρεται σε σημαντικές περιπτώσεις αλληλοτροφοδότησης Μαθηματικών και Φυσικής με καινοτόμες έννοιες και τεχνικές. Όπως το θέτει απλά αλλά μεστά ο Καστοριάδης, πρόκειται για το

ατέλειωτο παιχνίδι […], όπου άλλοτε τα Μαθηματικά μοιάζουν να «προετοιμάζουν» από πριν τις μορφές τις οποίες “θα χρειαστεί” η Φυσική, άλλοτε η Φυσική «επιβάλλει και επισπεύδει» την επινόηση μαθηματικών μορφών που δεν υπήρχαν μέχρι τότε, άλλοτε και τα δύο γίνονται μαζί, άλλοτε τέλος η Φυσική μένει μπλοκαρισμένη επειδή δεν κατέστη δυνατόν να «δημιουργηθούν» τα απαιτούμενα μαθηματικά εργαλεία.

Όλοι οι «προσκεκλημένοι» του Ευαγγελόπουλου ομοφωνούν σε αυτή τη γενική περιγραφή, και στο βιβλίο αναφέρονται κλασικά και σύγχρονα παραδείγματα και των τεσσάρων προαναφερθεισών περιπτώσεων. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι και το έργο του Δ. Χριστοδούλου,[3] ενδεικτικό (όπως επισημαίνει και ο ίδιος) του πόσο παραγωγική για την επινόηση μαθηματικών μεθόδων είναι η επίμονη προσπάθεια επίλυσης δύσκολων φυσικών προβλημάτων.

Ιδιαίτερα ευπρόσδεκτη είναι η τεκμηριωμένη παρουσίαση για το πώς οι σύγχρονες φυσικές θεωρίες των κβαντικών πεδίων και χορδών αλληλεπιδρούν δημιουργικά με θεμελιώδεις κλάδους των μαθηματικών. Συγκεκριμένα, όπως αναλύεται λεπτομερώς από τους Β. Σακελλαρίου και Γ.Ε., τις τελευταίες δεκαετίες ορισμένοι μαθηματικοί ορισμοί φυσικών χαρακτηριστικών και τρόποι διατύπωσης και ανάλυσης (ιδεατά, επίλυσης) των παραπάνω φυσικών θεωριών, οδήγησαν στη γόνιμη επαναδιατύπωση και (μερικές φορές) την πρώτη, ή πολύ απλούστερη, επίλυση σημαντικών και δύσκολων μαθηματικών προβλημάτων. Ταυτόχρονα, όμως, οι ερευνητές της θεωρίας χορδών

διαπίστωσαν βαθμιαία ότι έπρεπε να διευρύνουν το περιεχόμενο της θεωρίας, κι ότι κάθε καινούργια πτυχή της άνοιγε τεράστια σκοτεινά δώματα, δυσπρόσιτα στα ερευνητικά τους εργαλεία. Αυτό οδήγησε έναν από τους πιο σημαντικούς θεωρητικούς φυσικούς της εποχής μας, τον Edward Witten, να δηλώσει ότι «η θεωρία χορδών είναι μια θεωρία του 21ου αιώνα που κατά λάθος εμφανίστηκε τον 20ό». Η αδυναμία των θεωρητικών οφείλεται και στο γεγονός ότι τα μαθηματικά που χρειάζονται για να μελετηθεί η θεωρία πρέπει σε μεγάλο βαθμό να δημιουργηθούν από την αρχή. Δεν είναι τυχαίο ότι τα τελευταία 20 χρόνια πάνω από τα μισά μετάλλια Fields (το «Nobel» των μαθηματικών) δόθηκαν για μαθηματικά που σχετίζονται άμεσα ή έμμεσα με τη θεωρία των χορδών.[4]

Πρόκειται για μια πολυδαίδαλη συναρπαστική διαδικασία αλληλεπίδρασης σε πλήρη εξέλιξη, και το βιβλίο αποτελεί διεγερτικό οδηγό για να την παρακολουθήσει ή να την μελετήσει κανείς, ή ακόμα και να την στοχαστεί φιλοσοφικά.

Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα της παραπάνω θεματικής αφορά τα διαφορετικά κριτήρια μαθηματικής αυστηρότητας που χρησιμοποιούν οι φυσικοί και οι μαθηματικοί. Το πρόβλημα αυτό θέτει δύσκολα ερωτήματα, που σχετίζονται με το πώς κυοφορούνται οι χρήσιμες για τον άλλο κλάδο επινοήσεις. Π.χ. πώς και πού οριοθετούνται οι διαφορές στα δύο σύνολα κριτηρίων αυστηρότητας, και πώς αυτό διαφοροποιεί τις έννοιες της επιλυσιμότητας και τις ευρετικές-δημιουργικές διαδικασίες στις δύο πλευρές; Πώς αυτό εξειδικεύεται στη συζητούμενη περίπτωση της «μαθηματικής γονιμότητας» της κβαντικής θεωρίας πεδίων και χορδών; Ως προς το τελευταίο, ένα παράθεμα του Μάικλ Γκριν υποδεικνύει (νομίζω εύστοχα, αλλά αρκετά γενικόλογα) τη μαθηματική δυναμικότητα αφ’ ενός της συναρτησιακής ολοκλήρωσης και αφ’ ετέρου ποικίλων ευφάνταστων συμμετριών και ορίων που επινοούν οι θεωρητικοί φυσικοί. Εκτιμώ ότι η λεπτομερέστερη διερεύνηση των υποδείξεων αυτών θα οδηγούσε σε διαφωτιστικά ευρήματα.

Κατά την περιγραφή του πλούσιου πραγματολογικού υλικού γίνεται αναπόφευκτα χρήση δυσπρόσιτων στον μη ειδικό αναγνώστη τεχνικών όρων. Από τους όρους αυτούς μερικοί σκιαγραφούνται στο κυρίως κείμενο, ενώ για όλους υπάρχουν παραπομπές σε εξαιρετική βιβλιογραφία, μέρος της οποίας είναι προσιτό και στους μη επαΐοντες. Καθώς είναι φανερό ότι ο συγγραφέας επιδιώκει να παρακινήσει φοιτητές και αποφοίτους των θετικών επιστημών σε ένα ταξίδι που γοήτευσε τον ίδιο, η υπόδειξη κατάλληλης βιβλιογραφίας είναι μια κρίσιμη παράμετρος για να συμβεί κάτι τέτοιο. Ο βαθμός κατανόησης της συγκεκριμένης θεματικής και συμμετοχής στην πνευματική ζέση που αποπνέει η ανάπτυξή της, θα εξαρτηθεί από τις συναφείς γνώσεις του αναγνώστη (και ίσως από τη δυνατότητα επιλεκτικής πρόσβασης στη βιβλιογραφία). Για τους αναγνώστες που υστερούν σε αυτές τις προϋποθέσεις, το «στοίχημα» του βιβλίου θα εξαρτηθεί από το πόσο ενδιαφέρον θα αναπτύξουν για το υπόλοιπο περιεχόμενό του.

Η φιλοσοφική-επιστημολογική προβληματική γύρω από το θέμα του βιβλίου έχει ως βασικό πλέγμα αναφοράς τις αντίστοιχες φιλοσοφικές απόψεις του Κορνήλιου Καστοριάδη, που γίνονται κατανοητές μόνο όταν ενταχθούν στο εννοιολογικά συνεκτικό σχήμα της οντολογίας του. Όπως εύστοχα αναφέρει ο Γ.Ε., κεντρικές στο σχήμα αυτό είναι (με δικές του υπογραμμίσεις) «…οι έννοιες της συνολοταυτιστικής λογικής (ή αλλιώς, συνολιστικής-ταυτιστικής λογικής), του μάγματος, του στιβαδωτού όντος, αλλά και τουριζικού φαντασιακού και της αυτοποίησης (μέσω της δημιουργίας-ανάδυσης νέων μορφών οργάνωσης του έμβιου κόσμου αλλά και των κοινωνιών)…». Πολύ συνοπτικά, ο Καστοριάδης θεωρεί ότι κάθε ον συναποτελείται από μία ή περισσότερες «στιβάδες», τις οποίες οφείλει να διακρίνει κάθε προσπάθεια διαύγασής του. (Διαύγαση είναι όρος που εισήγαγε ο Καστοριάδης για να συμπεριλάβει –αλλά και να υπερβεί– την εξήγηση και την κατανόηση). Ως βασικές στιβάδες θεωρεί, σε σειρά πολυπλοκότητας, τη φυσική, τη βιολογική, την ψυχική και την κοινωνικο-ιστορική. Κάθε στιβάδα συμμετέχει στις επόμενες πιο πολύπλοκες, αλλά δεν επιβάλλει τα βασικά ειδοποιά χαρακτηριστικά τους, που αναδύονται με τρόπο αυτογενή και μη αναγώγιμο.

Κατά τον Καστοριάδη, η συνολοταυτιστική λογική, η σύνθεση της μαθηματικής θεωρίας συνόλων και της τυπικής λογικής, δηλαδή της λογικής που εδράζεται στις αρχές της ταυτότητας, της μη αντίφασης και του αποκλειόμενου τρίτου, αποτυπώνει επαρκώς (και επομένως διέπει) τις διαδικασίες της φυσικής στιβάδας. Όμως ο Καστοριάδης χρειάζεται μια ευρύτερη λογική, την οποία αποκάλεσε μαγματική λογική ή λογική των μαγμάτων, προκειμένου να διαυγάσει την ανάδυση νέων μορφών οργάνωσης και λειτουργίας στο βιολογικό, και ιδίως στο ψυχικό και κοινωνικο-ιστορικό επίπεδο, καθώς θεωρεί ότι τέτοιες δημιουργίες δεν μπορούν να αναχθούν σε συνδυαστική οποιασδήποτε πολυπλοκότητας και λεπτότητας στο πλαίσιο της τυπικής λογικής. Επιπλέον, εισάγει την κατ’ αυτόν βασική έννοια του ριζικού φαντασιακού, έμφυτης δημιουργικής λειτουργίας με πρωταρχική πηγή τις ατομικές ψυχές (νοούμενες όπως στην ψυχανάλυση), αλλά μορφοποιούμενης κυρίως ως κοινωνικό φαντασιακό και θέσμιση, με τη δημιουργία φαντασιακών σημασιών που νοηματοδοτούν τις παρορμήσεις των κοινωνικοποιούμενων ψυχών.[5] Παρατηρεί κανείς ότι ο Καστοριάδης ουσιαστικά παρακάμπτει τα συνήθη επιστημολογικά ερωτήματα, καθώς και ότι ο προσδιορισμός –από τον ίδιο, αλλά και από άλλους– της μαγματικής λογικής παραμένει αρκετά ασαφής.

Ο Ευαγγελόπουλος αυτοπεριορίζεται να συζητήσει κριτικά τη φιλοσοφία του Καστοριάδη μόνο σε σχέση με τα Μαθηματικά, τη Φυσική και τη Βιολογία. Δέχεται ότι το οντολογικό σχήμα του στιβαδωτού όντος του Καστοριάδη επιβεβαιώνεται σε γενικές γραμμές από τις εξελίξεις της έρευνας στη Φυσική και στη Βιολογία. Παράλληλα, όμως, προβάλλει με επιχειρήματα μερικές αντιρρήσεις στις απόψεις του Καστοριάδη, δύο από τις οποίες παρουσιάζουν γενικότερο ενδιαφέρον και θα αναφερθούν εδώ συνοπτικά.

Η πρώτη αντίρρηση αφορά τη θέση του Καστοριάδη ότι η συνολοταυτιστική λογική αποτελεί αναγκαίο περιορισμό που επικαθορίζει τόσο τις διαδικασίες συνεπαγωγής των Μαθηματικών, όσο και την αξιωματική θεμελίωση των μαθηματικών συστημάτων. Ο Γ.Ε. αναφέρει μεγάλους μαθηματικούς τομείς, όπως τα ιντουισιονιστικά (διαισθητικά) μαθηματικά, τα περατοκρατικά μαθηματικά, τη θεωρία των ασαφών (fuzzy) συνόλων, οι οποίοι, «οικοδομούνται είτε σε λογικές αρχές πολύ ασθενέστερες των ισοδυνάμων της αρχής της ταυτότητας ή της αρχής της μη αντίφασης, είτε σε έννοιες που δεν έχουν ως βάση τους την καντοριανή έννοια του συνόλου…». Προσθέτει, επίσης, με αναφορά σε πλούσια βιβλιογραφία, ότι

υπάρχουν εργασίες που δείχνουν ότι κατά την αξιωματικοποίηση παίζουν ρόλο πολύ περισσότερα πράγματα από τη «συμβιβαστότητα» και την «επάρκεια» των αξιωμάτων: στην επιλογή τους εμπλέκονται ουσιωδώς ζητήματα που έχουν να κάνουν τόσο με την παράδοση του υπό μελέτη μαθηματικού κλάδου (ποια είναι τα σημαντικά προβλήματα, ποιες οι επιθυμητές λύσεις, ποιες οι υποσχόμενες μέθοδοι), όσο και με την αισθητική και τη γνωσιολογία…

Συζητά ακολούθως πιο αναλυτικά κάτι ιδιαίτερα ενδιαφέρον, τον ολοένα αυξανόμενο ρόλο της μαθηματικής θεωρίας των κατηγοριών στην επαναδιατύπωση και συσχέτιση διαφόρων κλάδων των μαθηματικών, αλλά και στην επαναθεμελίωση συνολικά των Μαθηματικών (αντικαθιστώντας στον ρόλο αυτό τη θεωρία συνόλων). Ειδοποιό χαρακτηριστικό της θεωρίας κατηγοριών είναι ότι τα στοιχεία μιας κατηγορίας δεν επιλέγονται επειδή όλα ικανοποιούν κοινές ιδιότητες (όπως στη θεωρία συνόλων), αλλάπροσδιορίζονται αποκλειστικά από τον καθορισμό των μεταξύ τους σχέσεων. Θεωρώ πιθανό ότι ο παραπάνω τρόπος ταυτοποίησης των στοιχείων μιας κατηγορίας θα ενδιέφερε τον Καστοριάδη σε σχέση με τη σύλληψή του των «μαγμάτων».

Η δεύτερη γενικότερη διαφωνία του Γ.Ε. με τον Καστοριάδη έχει να κάνει με την άποψη του τελευταίου ότι ούτε η Φυσική ούτε η Βιολογία, δέσμιες της συνολοταυτιστικής λογικής και των συναπαγόμενων μαθηματικών, δεν μπορούν να διατυπώσουν μια θεωρία που διαυγάζει την ανάδυση νέων μορφών οργάνωσης και συμπεριφοράς στις στιβάδες της αρμοδιότητάς τους. Τέτοια φαινόμενα είναι πράγματι εξαιρετικά δύσκολο να περιγραφούν και να εξηγηθούν αναλυτικά, γιατί οφείλονται στην επικράτηση έντονα συλλογικών συμπεριφορών, ενώ σε κάποια παίζει ενεργό ρόλο και το περιβάλλον. Ξεκινώντας από τη Φυσική, ο Γ.Ε. αντιτείνει ότι μερικά τέτοια φαινόμενα ήδη έχουν κατανοηθεί ποιοτικά και ποσοτικά, όπως π.χ. ορισμένες κρίσιμες αλλαγές φάσεων (με τη μέθοδο της ομάδας επανακανονικοποίησης), και ότι ήδη διερευνώνται μέθοδοι που υπόσχονται περαιτέρω πρόοδο σε μια σειρά παρόμοια προβλήματα. Άλλα παραδείγματα που θα μπορούσαν να αναφερθούν είναι η επιτυχής ανάλυση της ανάδυσης «χαοτικών» συμπεριφορών σε σχετικά απλά δυναμικά συστήματα, η πρόοδος στην διατύπωση «ενεργών θεωριών πεδίου» στην πυρηνική και σωματιδιακή φυσική κ.λπ. Γενικότερα, αντιπροτείνει πειστικά ότι οι δυσκολίες δεν οφείλονται σε προβλήματα αρχής, αλλά πολύπλοκης φυσικομαθηματικής ανάλυσης όταν αλλάζουν οι συλλογικές δυναμικές.

Προχωρώντας στη Βιολογία, ο Γ.Ε. συνοψίζει έναν διεγερτικό διάλογο του Κορνήλιου Καστοριάδη με τον Φρανσίσκο Βαρέλα, βιολόγο που ενσωμάτωσε πρωτοποριακά την αυτονομία ως μία από τις κεντρικές έννοιες της Βιολογίας. Ο Βαρέλα αντιτείνει πειστικά στον Καστοριάδη ότι οι βιολόγοι που μελετούν την ανάδυση μιας νέας μορφής δεν υπόκεινται στο ακραίο δίλημμα να την θεωρήσουν είτε τυχαία είτε υπολογίσιμη. Αντ’ αυτού, μπορούν να αποκτήσουν ακριβή γνώση της συσσώρευσης των συνθηκών που κάνουν δυνατή την ανάδυση και να ταυτοποιήσουν τις ουσιώδεις διεργασίες που οδηγούν σε αυτήν, και μάλιστα σε βαθμό να κατορθώνουν να την αναπαράγουν στο εργαστήριο. Οι παρατηρήσεις αυτές, όπως σημειώνει ο Γ.Ε. με ενδιαφέρουσες αναφορές, ενσωματώνονται αρμονικά στην μη αναγωγική, «στιβαδωτή» μέθοδο τωνλειτουργικών μορφωμάτων ή στοιχείων (functional modules) της λεγόμενης συναρθρωτικής ή συναρμοστικής Βιολογίας (modular Biology). Πράγματι, η ύπαρξη ζωτικών στοχευμένων λειτουργιών, που προκύπτουν συλλογικά από πολύ ειδικέςαλληλεπιδράσεις μεγάλου πλήθους διαφορετικών μορίων, αποτελεί βασική ειδοποιό διαφορά της Βιολογίας από τη Φυσική. Δεν θα επεκταθώ περισσότερο, παραπέμποντας σε ένα διαφωτιστικό άρθρο[6] που αναφέρεται στο βιβλίο. Η προσέγγιση αυτή, ενώ δεν αντιβαίνει στο γενικό οντολογικό σχήμα του Καστοριάδη, φιλοδοξεί, και ήδη μερικές φορές επιτυγχάνει, λεπτομερή γνώση της «γενεσιουργού» (με την έννοια που περιέγραψε ο Βαρέλα) σχέσης μεταξύ βιολογικών στιβάδων. Μια γνώση που επικυρώνεται και από την παρεμβατική χρησιμότητά της.

Αξίζει να κρατηθεί η κεντρική αντίληψη του Γ.Ε. για τις παραπάνω επιστήμες, την οποία θα συνοψίσω πιο προκλητικά απ’ ό,τι ταιριάζει στο δικό του ύφος: ότι η ριζική εφευρετικότητά τους στη διαμόρφωση κατάλληλων εννοιών και (δια)γνωστικών μεθόδων για τη δομο-λειτουργική περιγραφή των επικρατειών τους, τους επιτρέπει να υπερβαίνουν, αργά ή γρήγορα, οριοθετήσεις που απορρέουν από την μάλλον αφηρημένη ανάλυση του φιλοσόφου, η οποία υπερτονίζει τον ρόλο της αναλυτικής υπολογισιμότητας.

Ανακεφαλαιώνοντας τη συνολική μου εντύπωση από το βιβλίο, εκτιμώ ότι ο Γ.Ε., με την εμπνευσμένη επιλογή και οξυδερκή παρουσίαση πλήθους πηγών και χάρις στην κριτική και συνθετική του ικανότητα, καταφέρνει να οργανώσει και να διαφωτίσει ένα πολύπλοκο πεδίο πληροφοριών και απόψεων για τη σχέση Μαθηματικών και Φυσικής και για τις πρόσφατες εξελίξεις στη σχέση αυτή. Προσφέρει έτσι στον αναγνώστη με κάποιο υπόβαθρο γνώσεων μια υψηλού επιπέδου πολυεδρική κατανόηση για τα θέματα αυτά, και εφόδια για περαιτέρω μελέτη εύστοχα επιλεγμένης βιβλιογραφίας. Το μικρό, αλλά πυκνό αυτό βιβλίο, αξίζει να προσεχτεί από όλους όσους ενδιαφέρονται για τα θέματα που θίγει.

[1] 1. Ο Γ.Ε. πρωτοδοκίμασε τις πνευματικές του δυνάμεις ως άριστος λύτης προβλημάτων που προτείνονταν στις στήλες διεθνών και ελληνικών μαθηματικών περιοδικών της εποχής. Υπήρξε επίσης διευθυντής σύνταξης της ελληνικής έκδοσης του εξαιρετικού διεθνούς φυσικομαθηματικού περιοδικού Quantum. Τα γραπτά του της τελευταίας πενταετίας αναφέρονται στον ιστότοπο http://www.biblionet.gr.

[2] Η αξιοθαύμαστη προσπάθεια του Καστοριάδη για ένα υψηλό επίπεδο γνώσεων στα Μαθηματικά και τις βασικές επιστήμες είναι ενδεικτική των προθέσεών του για καθολικήδιαύγαση του κόσμου και ανανέωση του οράματος των γάλλων εγκυκλοπαιδιστών του αναδυόμενου Διαφωτισμού. Βλ. επίσης ένα σύντομο κείμενο του διάσημου έλληνα φυσικού Γιάννη Ηλιόπουλου, «Κορνήλιος Καστοριάδης, ο τελευταίος εγκυκλοπαιδιστής», που παρατίθεται στο βιβλίο του Γ.Ε. και προέρχεται από τον συλλογικό τόμο Ψυχή, Λόγος, Πόλις – Αφιέρωμα στον Κορνήλιο Καστοριάδη (Όμιλος Φίλων του Κορνήλιου Καστοριάδη και Ύψιλον/Βιβλία, Αθήνα, 2007), σ. 101-102.

[3] Εκτός από άλλες διακρίσεις, ο Χριστοδούλου τιμήθηκε πρόσφατα και με το βραβείο Shaw, θεωρούμενο από πολλούς ως το «ασιατικό Nobel».

[4] Από τον πρόλογο του Ηλία Κυρίτση στο βιβλίο του Steven S. Gubser, Το μικρό βιβλίο της θεωρίας χορδών, μτφρ. Π. Δήτσας, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2012.

[5] Εκτός από το παρουσιαζόμενο βιβλίο, για τη φιλοσοφία του Καστοριάδη συμβουλεύτηκα το αρκετά διεξοδικό διαυγές βιβλίο του Θεοφάνη Τάση, Καστοριάδης. Μια φιλοσοφία της αυτονομίας, Εκδόσεις Ευρασία, Αθήνα, 2007. Επίσης το άρθρο του Κωστή Σιμόπουλου, «Φαντασιακή αυτονομία ή φανταστικός αυτοεγκλωβισμός; (Μια κριτική προσέγγιση της έννοιας του φαντασιακού του Κ. Καστοριάδη)», Νέα Εστία, τχ. 1722, Αθήνα, Απρίλιος 2000, σ. 588, που εντάσσει κριτικά την καστοριαδική ριζική φαντασία στη μακρά ιστορία της φιλοσοφίας και τονίζει τα δυσεπίλυτα προβλήματα συνύπαρξης της φαντασιακής με την κριτική λειτουργία. Τέλος, βρήκα πολύ ενδιαφέροντα ορισμένα κεφάλαια από το βιβλίο του Τάκη Σιμώτα, Περί φαντασίας (Τόμος Α΄: Φασματογονία – Φαντασιολογία, Τόμος Β΄: Φαντασιώσεις, Πολιτικές, επιστημονικές, φιλοσοφικές), Άγρα, Αθήνα 2009, μια «εκ βαθέων» ευρηματική, φαινομενολογική και λογοτεχνική ταυτόχρονα, διερεύνηση της φαντασίας ως ενεργού συμπαίχτη στα βιώματα και τις συλλήψεις μας.

[6] L. H. Hartwell, J. J. Hopfield, S. Leibler και A. W. Murray, “From molecular to modular cell biology”, Nature 402, 1999, C47-52.

Η άλγεβρα απογειώνει τη φαντασία
Οταν τα παιδιά διδάσκονται στο σχολείο μαθηματικά, μπορούν να προσεγγίσουν την ομορφιά τους μόνο με αφηρημένο και θεωρητικό τρόπο. Σίγουρα όχι με χρώμα και εικόνες.
Η έκθεση «Ιmaginary» έρχεται να ανατρέψει αυτόν τον κανόνα, δίνοντας σε όλους μας τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε εικόνες τέχνης με ένα ανέλπιστο εργαλείο: την αλγεβρική γεωμετρία
Oταν οι αδαείς περί τα μαθηματικά ακούνε κάποιον να λέει πόσο όμορφη είναι μια εξίσωση, συνήθως τον κοιτάζουν με δυσπιστία. Τώρα ήρθε η ώρα να αναθεωρήσουν. Σε αυτό θα τους βοηθήσει η έκθεση «Ιmaginary». Δίνοντας μορφή και χρώμα στουςαφηρημένους αλγεβρικούς τύπους η πρωτότυπη πρωτοβουλία του γερμανικού μαθηματικού ινστιτούτου Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach φιλοδοξεί να κάνει ακόμη και όσους μισούν τα μαθηματικά να τα αγαπήσουν. Ή τουλάχιστον- και αυτό είναι ίσως πιο σημαντικό- να τα κατανοήσουν.



Λεμόνια και καρδιές

Η εξίσωση x2+z2=y3 (1-y)3 είναι ένα πράσινο λεμόνι, η (x2+9/4y +z21)3-x z3=0- μια ενδιαφέρουσα για τους μαθηματικούς «κορυφή» ή «παραδοξότητα»- είναι μια κατακόκκινη ζουμερή καρδιά. Πώς κάτι τόσο «στεγνό» όσο ένας μαθηματικός τύπος μπορεί να μετατραπεί σε έργο τέχνης; «Η όλη ιδέα ξεκίνησε από το γεγονός ότι τα μαθηματικά είναι πολύ αφηρημένα,κάτι το οποίο πραγματικά συμβαίνει μέσα στο μυαλό μας και απέχει πολύ από τον πραγματικό κόσμο» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Αντρέας Ματ,διδάκτωρ μαθηματικός και συντονιστής της έκθεσης. «Θελήσαμε να τα κάνουμε πιο “χειροπιαστά” για το ευρύ κοινό και διαλέξαμε αυτή την κάπως διαφορετική προσέγγιση,την καλλιτεχνική οπτικοποίησή τους».Η βάση αυτής της οπτικοποίησης είναι η αλγεβρική γεωμετρία, ο κλάδος των μαθηματικών που συνδυάζει την αντιμεταθετική άλγεβρα με τη γεωμετρία. «Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η άλγεβρα» εξηγεί ο κ. Ματ «είναι ο τύπος και η γεωμετρία είναιη εικόνα. Αυτό είναι και το νόημα του τίτλου“Ιmaginary”. Η λέξη “εικόνα”- “image”- αποτελεί μέρος του αφηρημένου “φανταστικού”“imaginary”» . Το όλο εγχείρημα έχει δύο σκέλη: ένα καθαρά μαθηματικό και ένα δημιουργικό, καλλιτεχνικό. Ειδικά προγράμματα που αναπτύχθηκαν από τους μαθηματικούς επιτρέπουν την «τοποθέτηση» των αλγεβρικών εξισώσεων στον χώρο και τη δημιουργία των ανάλογων σχημάτων- αλγεβρικών επιφανειών- τα οποία στη συνέχεια ο καθένας μπορεί να «γεμίσει» με τα χρώματα που θεωρεί κατάλληλα. Και όταν λέμε «ο καθένας» το εννοούμε: τα προγράμματα είναι εύχρηστα και δεν χρειάζονται ειδικές γνώσεις. Αντιθέτως, καθώς αναπτύσσει κάποιος το σχήμα, σιγά σιγά εκπαιδεύεται και αρχίζει να μπαίνει στο πνεύμα των μαθηματικών και να κατανοεί τη λειτουργία τους.


Οδηγίες χρήσης

«Κατ΄ αρχάς επιλέγετε έναν τύπο, οποιονδήποτε τύπο» εξηγεί ο κ. Ματ. «Ας πούμε τον x2+y 2-z=0. Οπως βλέπετε, ο τύπος αυτός περιλαμβάνει τρεις μεταβλητές, οι οποίες, όπως μπορείτε να φανταστείτε, αντιστοιχούν στον χώρο». Το x για παράδειγμα μπορεί να είναι στα δεξιά ή στα αριστερά, το y επάνω ή κάτω και το z στο κέντρο. Δίνοντας διαφορετικές τιμές στις μεταβλητές- π.χ., 5 στο x, 3 στο y και 1 στο z- μπορείτε να τις αντιστοιχίσετε κάθε φορά με ένα σημείο στον χώρο. «Ολα τα σημεία που λύνουν την εξίσωση ενώνονται μεταξύ τους σε ένα σχήμα. Αυτό που βλέπετε, δηλαδή, δεν είναι τίποτε άλλο από τη λύση της εξίσωσης.Και αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον γιατί η εικόνα είναι τελικά ένας άλλος τρόπος για να δει κανείς τον τύπο».


Ακούγεται ίσως λίγο μπερδεμένο, αν όμως το προσπαθήσετε στο Surfer, το ειδικό πρόγραμμα που είναι ανοιχτό στο κοινό, θα δείτε ότι τελικά είναι πάρα πολύ απλό. «Οσοκαι αν προσπαθήσω να σας το εξηγήσω, ο καλύτερος τρόπος για να το μάθετε είναι να το δοκιμάσετε. Ετσι άλλωστε λειτουργούν τελικά τα μαθηματικά» λέει ο κ. Ματ. «Απλώς παίζετε, μπορείτε να βάλετε έναν οποιονδήποτε τύπο ή να πάρετε έναν από τους υπάρχοντες και να τον αλλάξετε λιγάκι.Τότε θα δείτε έναν καινούργιο τύπο και μιακαινούργια εικόνα. Και μπορείτε να συνεχίσετε να τον αλλάζετε,και αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος για να μάθετε τα μαθηματικά:παίζοντας» .


Το Ινστιτούτο προσφέρει επίσης κάποιες οδηγίες, μερικά «μαθηματικά κόλπα», για να φτιάξει κανείς συγκεκριμένες εικόνες. Αν π.χ. θέλετε να φτιάξετε ένα πρόσωπο, θα μάθετε ποιους τύπους θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε για να πετύχετε δύο μάτια, ένα στόμα και ούτω καθ΄ εξής. Και, αφού θα έχετε εξασκηθεί παίζοντας, θα φθάσετε, όπως εξηγεί ο μαθηματικός, σε κάποιο σημείο στο οποίο μόνοι σας θα μπορείτε να αλλάζετε τις εικόνες και να τις κάνετε όπως ακριβώς θέλετε. Τα χρώματα που θα χρησιμοποιήσετε και ο τίτλος που θα τους δώσετε δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθηματικά. Εναπόκεινται απλώς στη δημιουργικότητά σας.


Μια έκθεση γεννιέται

Το πρώτο βήμα για τη δημιουργία της έκθεσης έγινε από τον αυστριακό μαθηματικόΧέρβιχ Χάουζερ, ο οποίος άρχισε να συνδυάζει αλγεβρικούς τύπους με εικόνες και να τους δίνει έναν τίτλο. Το Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach σκέφτηκε να αναπτύξει την ιδέα περισσότερο με τη διοργάνωση της «Ιmaginary» στο πλαίσιο του Ετους των Μαθηματικών στη Γερμανία το 2008. Το Surfer, αν και βασικό, αποτελεί ένα μόνο μέρος των διαδραστικών δραστηριοτήτων που προσφέρονται. Ο κάθε επισκέπτης μπορεί να τις δοκιμάσει μία μία ώστε να αρχίσει να μυείται στον κόσμο των μαθηματικών.«Και ένας υπεύθυνος είναι πάντα δίπλα του για να τον καθοδηγήσει και να του εξηγήσειπώς λειτουργεί το καθετί» λέει ο κ. Ματ. «Αυτό είναι ένα άλλο σημαντικό στοιχείο της έκθεσής μας: η ανθρώπινη επαφή».


Η έκθεση είχε τεράστια επιτυχία και ανταπόκριση, όχι μόνο στο γερμανικό κοινό αλλά και εκτός των συνόρων. Σύντομα άρχισε να περιοδεύει σε διάφορες χώρες. Τελευταίος σταθμός ήταν το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ στη Βρετανία τον περασμένο Μάρτιο και επόμενος θα είναι η Ζυρίχη το ερχόμενο φθινόπωρο. Η Βασιλική Ακαδημία Επιστημών της Ισπανίας την έχει «κλείσει» για ολόκληρο το 2011, αλλά στο ίδιο διάστημα θα παρουσιαστεί παράλληλα σε διάφορες πόλεις της Γερμανίας και της Βρετανίας, ενώ προγραμματίζεται και η παρουσίασή της στην Ελλάδα.


Τις περισσότερες φορές η διοργάνωση γίνεται σε συνεργασία με πανεπιστήμια ή άλλους εκπαιδευτικούς ή επιστημονικούς φορείς, το Ινστιτούτο όμως προτιμά οι εκθεσιακοί χώροι να βρίσκονται εκτός των πανεπιστημιακών ιδρυμάτων, σε κάποιο μουσείο ή ακόμη και στον δρόμο. «Είναι προτιμότερο η έκθεση να γίνεται σε έναν σταθμό του τρένου ή του μετρό, σε ένα σουπερμάρκετ ή και έξω,σε έναν υπαίθριο δημόσιο χώρο, γιατί ο βασικόςστόχος της είναι να φθάσει στο ευρύ κοινό» εξηγεί ο κ. Ματ. «Δεν είναι για τους μαθηματικούς,είναι για όλους.Αλλά ταυτοχρόνως είναι μαθηματικά. Μαθηματικά που μερικές φορές μπορεί να είναι ακόμη και πολύπλοκααλλά πάντα είναι για όλους. Και η ιδέα λειτουργεί».


lalina@tovima.gr


LYAPUNOV PLAY

Παιχνίδι Λιαπούνοφ

Ο Μάριο Μάρκους του Ινστιτούτου Μαξ Πλανκ Διατροφολογίας χρησιμοποιεί δυναμικά συστήματα για να μελετήσει την εξέλιξη των ζωικών πληθυσμών.Τα συστήματα αυτά μπορεί να επιδεικνύουν ταυτόχρονα έναν σταθερό κύκλο και μια χαοτική εξέλιξη,ανάλογα με την ικανότητα γονιμότητας των ζώων.Η σταθερότητα και το χάος μπορούν να αναλυθούν με τον υπολογισμό του λεγόμενου εκθέτη Λιαπούνοφ.Οι εικόνες του κ.Μάρκους αποτελούν έγχρωμες χαρτογραφήσεις του εκθέτη Λιαπούνοφ έναντι της γονιμότητας κατά μήκος οριζόντιων και κάθετων αξόνων.Εδώ το χάος αποδίδεται με σκούρο γαλάζιο χρώμα.



TΟ EΚΑΤΟΝΕΙΚΟΣΑΧΩΡΟΝ




Το Εκατονεικοσάχωρον είναι ένα τυπικό πολύτοπο σε τέσσερις διαστάσεις. Είναι το τετραδιάστατο αντίστοιχο ενός τρισδιάστατου δωδεκάεδρου, το οποίο έχει 12 πενταγωνικές έδρες, 20 κορυφές και 30 ακμές. Το Εκατονεικοσάχωρον έχει 120 «πλευρές» αλλά αυτές είναι τετραδιάστατες, οπότε στην πραγματικότητα γίνονται τρισδιάστατες: είναι όλες δωδεκάεδρα! Οι δισδιάστατες πλευρές αυτών των δωδεκάεδρων είναι φυσικά πεντάγωνα, συνολικά 720 στοναριθμό. Οι κορυφές είναι 600 και οι ακμές 1.200.




EΠΙΦΑΝΕΙΑ BJ RLING




Οι ελαχιστοτικές επιφάνειες έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά καμπυλότητας με τις μεμβράνες σαπουνιού.Η κατασκευή ελαχιστοτικών επιφανειών με δεδομένα χαρακτηριστικάαποτελεί κλασικό αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας.Το 1844 ο Ε.G.Βj rling έδειξε ότι για κάθε αρκετά ευνοϊκή τρισδιάστατη καμπύλη μπορεί να βρει κανείς μια στενή λωρίδα ελαχιστοτικής επιφάνειας η οποία την περιέχει.Επιπλέον μπορεί να προσδιορίσει πώς η λωρίδα θα περιστραφεί γύρω από την καμπύλη.Η επιφάνεια που απεικονίζεται εδώ έχει δημιουργηθεί με αυτόν τον τρόπο.Οι τύποι αναπτύχθηκαν από τον Ματίας Βέμπερ και το τοπίο του φόντου δημιουργήθηκε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή από τον Σάιμον Ο΄ Κάλαχαν.


SOFA/ Καναπές

x2+y3+z5=0




Αν και αυτή η αλγεβρική επιφάνεια ονομάζεται «Καναπές», δεν είναι απαραίτητα άνετη. Αυτό που έχουμε εδώ είναι μάλλον ένα κάθισμα για δύο άτομα που χωρίζονται μεταξύ τους από μια παραδοξότητα. Η παραδοξότητα αυτή λέγεται Ε8 και είναι ίσως η πιο διάσημη στα μαθηματικά. Συνδυάζει, μεταξύ άλλων, τη θεωρία των ομάδων συμμετρίας των πλατωνικών στερεών και τη θεωρία ομάδων Lie. Η απτή εικόνα αυτής της παραδοξότητας είναι εξαιρετικά κομψή αλλά δεν αποκαλύπτει τη μαθηματική πολυπλοκότητά της· αυτή γίνεται εμφανής μόνο αν συμπεριλάβετε το φανταστικό μέρος της. HIMMEL UND H LLE/Παράδεισος και Κόλαση

x2-y2z2=0




Το σχήμα έχει πάρει τον τίτλο του από ένα παιχνίδι. Κάποιος διπλώνει ένα χαρτί με τρόπο ώστε τα τέσσερα δάχτυλά του να μπαίνουν στις τέσσερις γωνίες που σχηματίζονται.Ανοίγοντας τα δάχτυλα το χαρτί ανοίγει με δύο διαφορετικούς τρόπους ώστε κάθε φορά να φαίνονται δύο από τις εσωτερικές πλευρές ταυτοχρόνως. Οι γαλάζιεςσημαίνουν τον Παράδεισο, οι κόκκινες την Κόλαση. Τα παιδιά πρέπει να μαντέψουν τι θα εμφανιστεί κάθε φορά.Προσθέτοντας τα τετράγωνα του y και του z παίρνουμε τον υψηλότερο εκθέτη 4. Αυτό λέγεται εξίσωση τέταρτου βαθμού. Οσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης τόσο πιο πολύπλοκο είναι να υπολογίσει κανείς την αλγεβρική




επιφάνεια.ZITRUS/ Εσπεριδοειδές




Η εξίσωση του εσπεριδοειδούς, όπως και η εικόνα,φαίνεται απλή: x2+y2 = y3 (1-y)3. Ενίοτε ωστόσο τα φαινόμενα απατούν.Τα σημεία συμβολής των δύο τόξων περιστρέφονται συμμετρικά γύρω από τον κεντρικό άξονα. Η εξίσωση x2+y2 = y3 χωρίς το = y3 (1-y)3 δίνει μόνο τη μία καμπύλη και η x2 + y2 (1-y)




3 δίνει τη συμμετρική εικόνα. Και οι δύο επιφάνειες εκτείνονται στο άπειρο.Το γινόμενο στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης «κλείνει» τα όρια του Ζitrus. Αν η απόλυτη αξία του y υπερβεί το 1, η δεξιά πλευρά γίνεται αρνητική και η εξίσωση δεν επιδέχεται πραγματικές λύσεις για το x και το z.CALYPSO/ Καλυψώ



x2+y2z=z2




Η Καλυψώ περιλαμβάνει τρεις ευθείες γραμμές. Η οριζόντια ευθεία είναι καθαρά ορατή, περνάει από το αρχικό σημείο μηδέν (0) όπου ενώνονται το επάνω και το κάτω τμήμα της επιφάνειας. Οι άλλες δύο ευθείες βρίσκονται σε ένα κάθετο επίπεδο. Περνούν και αυτές από το 0 και τέμνονται σε αυτό το σημείο.ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΙMAGINARY Εκφραστείτε δημιουργικά με τα μαθηματικά

«Το Βήμα» σε συνεργασία με το Μathematisches Forschungsinstitut Οberwolfach διοργανώνουν διαγωνισμό καλλιτεχνικής απεικόνισης αλγεβρικών επιφανειών. Δημιουργήστε τη δική σας εικόνα με το ειδικό πρόγραμμα Surfer που θα βρείτε στην ιστοσελίδα της εφημερίδας κάνοντας κλικ εδώ.

Πώς τα Μαθηματικά προσεγγίζουν τον Θεό;


Διαβάστε μια εξαιρετική και άκρως ενδιαφέρουσα Εισήγηση του Δρα Ιωάννη Σ. Κουντούρη, Επίκουρου Καθηγητή Στατιστικής, με θέμα: "Μαθηματικά και Θεολογία", έτσι όπως δημοσιεύθηκε στο ορθόδοξο περιοδικό «Απόστολος Βαρνάβας», Περ. Γ - Τομ. Ξς - Φεβρουάριος 2005- Τεύχος 2, σελ. 57-69.


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΘΕΟΛΟΓΙΑ
Περίληψη

Μια πολύ διαδεδομένη αλλά όχι και τόσο δημοφιλής θεολογική παράδοση αντιλαμβάνεται το Θεό ως ένα μαθηματικό που σχεδίασε τον κόσμο με μαθηματικές κατασκευές άψογης τελειότητας και αρμονίας. Πέραν αυτής της αλληγορικής μάλλον θεώρησης, μπορεί άραγε να υπάρξει μια αληθινή σχέση μεταξύ μαθηματικών και θεολογίας που αξίζει να ερευνήσουμε; Στο άρθρο αυτό μελετάται η ιστορική σχέση θεολογίας και μαθηματικών από αρχαιοτάτων χρόνων, κυρίως των Πυθαγορείων και μετά. Γίνεται στη συνέχεια μια προσπάθεια αξιολόγησης της προσφοράς της μιας «επιστήμης» προς την άλλη, κυρίως στο πως η θρησκεία συνέβαλε στη διατήρηση, εξάπλωση και πρόοδο των μαθηματικών και πως η κατανόηση των μαθηματικών γνώσεων βοηθά στο φωτισμό και στη διεύρυνση της δυναμικής για αντίληψη και κατανόηση των Θείων. Πέραν της ανάλυσης αυτής για συνεργασία και αλληλοτροφοδοσία των δύο, γίνεται μια προσπάθεια εντοπισμού των κοινών στοιχείων που τις συνδέουν και διερευνάται κατά πόσον βρίσκονται σε πορεία συμπόρευσης η σύγκρουσης.

Ιστορική Αναδρομή.

Είναι γεγονός πως ένα μέρος των πρωίμων μαθηματικών αναπτύχθηκε για το εμπόριο και τη γεωργία. Υπήρξε εντούτοις και μια κάποια σχέση με θρησκευτικές πρακτικές και με τη κίνηση των ουρανών. Για παράδειγμα η κατασκευή ημερολογίων ήταν δουλειά αστρονόμων ιερέων και η χαρτογράφηση του ουρανού χρειαζόταν ειδικά μαθηματικά για να αναπτυχθεί. Και μεταγενέστερα, όμως, όπως αναφέρει στο βιβλίο του «Ιστορία των Μαθηματικών» (σελ. 49) ο Mankiewicz1, το ισλαμικό θρησκευτικό τυπικό υποστήριζε τα μαθηματικά, γιατί ήταν απαραίτητη η ακρίβεια στην τήρηση των κανόνων της πίστης. Οι πέντε καθημερινές προσευχές έπρεπε να γίνονται σε ώρες που ρυθμίζονταν από τη θέση του ηλίου. Τέτοιοι κανόνες, όμως, απαιτούσαν γνώση των ουρανίων και πλανητικών κινήσων, αλλά και επίγειας γεωγραφίας. Κάθε δε πρόοδος στις αστρονομικές μετρήσεις απαιτούσε ακριβείς τριγωνομετρικούς πίνακες.

Για να μπορέσουμε, όμως, να καταλάβουμε καλύτερα την αλληλεπίδραση των μαθηματικών και της θεολογίας θα ήταν χρήσιμο να πάμε πίσω στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία πολύ πιο πριν από την ίδρυση της χριστιανικής θρησκείας και του ισλαμισμού. Είναι γνωστό ότι στην αρχαία Ελλάδα η φιλοσοφία, τα μαθηματικά και η θρησκεία αναπτύχθηκαν σχεδόν μαζί και η αλληλεπίδραση τους ήταν σχεδόν αναπόφευκτη.

1) Για το Θαλή τον Μιλήσιο (624-547 π.Χ.), από τον οποίο ιστορείται η γένεση της ελληνικής φιλοσοφίας, αρχή των πάντων είναι το νερό. Η δε ψυχή είναι ένθεη και κάτι το κινητικό «κινητικόν τι την ψυχήν υπολαβείν». "Αν και είναι γνωστός σε μας σαν ένας από τους επτά σοφούς της αρχαίας Ελλάδας, υπήρξε ένας εξαίρετος μαθηματικός, αφού ανέπτυξε μια λογική δομή για τη γεωμετρία και εισήγαγε σ' αυτήν την απόδειξη.

2). Από τον Πρόκλο μαθαίνουμε, ότι σ' αυτόν αποδίδονται τα ακόλουθα μαθηματικά αποτελέσματα: Η διάμετρος διχοτομεί τον κύκλο. Οι γωνιές της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Oι κατά κορυφή γωνίες είναι ίσες. Το κριτήριο Γ-Π-Γ της ισότητας των τριγώνων. Η κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο κ. λ. π.

Αντίθετα με το Θαλή, ο Πυθαγόρας (580- 500 π.Χ.) προσπάθησε να λύσει το πρόβλημα του τι είναι σύμπαν, όχι με την ύλη, αλλά κάνοντας χρήση των φυσικών αριθμών και της μονάδας. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν, πως το σύμπαν μπορούσε να περιγραφεί και να καθορισθεί πλήρως στα πλαίσια ρητών σχέσεων φυσικών αριθμών. Αυτή η πίστη τους για ρητή δομή του κόσμου είχε σαν αποτέλεσμα τη μεταγενέστερη διάλυση της σχολής τους. Πέραν του χαρακτηρισμού του Πυθαγόρα, σαν θρησκευτικού προφήτη, αποδίδονται σ' αυτόν εύσημα μεγάλου μαθηματικού, αφού είναι γνωστή η συμβολή του στη μελέτη: Άρτιων και περιττών αριθμών, Πυθαγορείων τριάδων, Θεωρίας διαιρετότητας, Θεωρίας αναλογιών, Ανακάλυψης ασυμμετρίας κλπ. Όσον αφορά στη ψυχή, οι Πυθαγόρειοι πίστευαν, ότι είναι κάτι το ασώματο και την ονόμαζαν ρυθμό και αρμονία. Έλεγαν, ότι η ψυχή έπεσε από το αρχικό της καθαρό «είναι» στη φυλακή του σώματος. Γυρίζει σε κύκλους με σειρά γεννήσεων, από σώμα σε σώμα, και είναι υποχρεωμένη να συμπληρώσει αυτό το δρόμο, ώστε να λυτρωθεί και να ξαναγυρίσει στην αρχική της μορφή και καθαρότητα.

Κατά την Πλατωνική φιλοσοφία, η ιδέα και όχι η ύλη αποτελεί την αληθινή πραγματικότητα. Η υπέρτατη δε ιδέα είναι η ιδέα του αγαθού, όπου εκεί είναι η πηγή κάθε ωραιότητας. Ο Πλάτωνας (427-347 π.Χ.) έλεγε, ότι με την καλλιέργεια του λογικού και της κρίσεως, με τη γνώση, μπορούμε να φθάσουμε στην αντίληψη του αγαθού και στην ευτυχία. Όσον αφορά στην επιστήμη των μαθηματικών, αυτή αποτελείται από αριθμητικές και γεωμετρικές ιδέες, που περιέχονται στο μέρος του Πλατωνικού κόσμου των ιδεών. Αν και ο Πλάτωνας δεν ήταν μαθηματικός, θεωρούσε την σπουδή των μαθηματικών απαραίτητη προϋπόθεση για την σπουδή της φιλοσοφίας. Το περίφημο επίγραμμα «μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω», που υπήρχε στην είσοδο της Ακαδημίας του, εκφράζει απόλυτα την εκτίμηση αυτή. Ο Πλάτωνας πίστευε στην αθανασία της ψυχής και τη θεωρούσε σαν κομμάτι της θείας ψυχής, υποστηρίζοντας πως είναι ουσία νοητή, αρμονικά αυτοκινούμενη. Στο Φαίδρο αναφέρει, ότι η ψυχή έχει δύο τμήματα, αυτό της κακίας και αυτό της αρετής. Το μέρος της αρετής πρέπει οι άνθρωποι να προσπαθούν να απελευθερώσουν για να ζουν με ευτυχία και αρμονία.

Ο Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.) ήταν η επόμενη φιλοσοφική μορφή σκέψης μετά τον Πλάτωνα. Απορρίπτει εντελώς την Πλατωνική διάκριση των ιδεών και υποστηρίζει, ότι το σύμπαν αποτελείται από ύλη και είδος και αυτά τα συστατικά δεν μπορούν να διαχωρισθούν. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη δεν υπάρχει κανένα σύμπαν ιδεών, με την βοήθεια των οποίων μπορεί κανένας να αντιληφθεί τον αισθητό κόσμο. Για τον Αριστοτέλη, Αναπολιτάνος3 (σελ. 56), οι μαθηματικές αλήθειες είναι αναγκαίες, όταν είναι διατυπωμένες με τη μορφή υποθετικών προτάσεων «αν... τότε». Οι προτάσεις αυτές εξασφαλίζονται με ένα σύνολο λογικών κανόνων, με τους οποίους μπορεί κανένας να συλλογίζεται σωστά. Με άλλα λόγια υποστήριζε, ότι χρειαζόμαστε υπαρκτικές υποθέσεις για κάθε τι που θα μπορούσαμε να ορίσουμε στα πλαίσια μιας μαθηματικής θεωρίας. Για τον Αριστοτέλη η ψυχή είναι η απόλυτη ύπαρξη (η πρώτη εντελέχεια) φυσικού σώματος. Απέδιδε δε ψυχή στα φυτά, στα ζώα και στον άνθρωπο.

Όλοι σχεδόν οι εκπρόσωποι της αρχαίας ελληνικής σκέψης πίστευαν, ότι το σύμπαν είναι αγέννητο, άπειρο, αναλλοίωτο και άφθαρτο. Την αρχή, όμως, των πάντων δεν την αναζήτησαν ποτέ σαν μια υπερβατική αρχή, έξωθεν του κόσμου, όπως συνέβη με το Χριστιανισμό. Αντίθετα την αρχή αυτή τη θεώρησαν προερχόμενη «εγγενώς και ενδοκοσμικώς»4 από το ίδιο στοιχείο, από το οποίο πηγάζουν τα πάντα, όπως θεοί, άνθρωποι και υπόλοιπα άψυχα όντα.

Όταν άρχισε το χριστιανικό κήρυγμα, χρησιμοποιήθηκαν όλα τα στοιχεία που ευνοούσαν τη διάδοση του Χριστιανισμού, τα οποία έθετε στη διάθεση της πρώτης αποστολικής δραστηριότητας η ελληνική φιλοσοφία. Ο απόστολος Παύλος ήταν γνώστης όχι μόνο των στωϊκών, αλλά και των Πλατωνικών φιλοσοφημάτων. Για δε τον Κλήμη τον Αλεξανδρέα5 (150 - 210 μ.Χ.), η φιλοσοφία είναι η «προπαιδεία» του ειδωλολατρικού κόσμου για να δεχθεί το Χριστιανισμό. Στα συγγράμματά του συχνά παραθέτει τις γνώμες του Πλάτωνα και βρίσκει σε αυτές συμφωνία προς τα χριστιανικά δόγματα περί της ύπαρξης του δημιουργού του κόσμου, αθανασίας της ψυχής και κολασμού των αδίκων στη μέλλουσα ζωή. Με τον Χριστιανισμό εμφανίσθηκε και ο Νεοπλατωνισμός, που ήταν ένα φιλοσοφικό ρεύμα, μια αναβίωση του Πλατωνισμού ή καλύτερα μεταμόρφωσή του, σύμφωνα με τις θρησκευτικές τάσεις της εποχής και διαμορφώθηκε από τον Πλωτίνο5 (204-270 μ.Χ.) Στο Νεοπλατωνισμό συγκεντρώθηκε όλο το θρησκευτικό και μυστικό στοιχείο, το οποίο διέθετε ο μη χριστιανικός κόσμος, μετεβλήθη δηλ. κατά ένα μεγάλο μέρος σε θρησκεία, προκειμένου να αντιμετωπίσει τον Χριστιανισμό. Παρά την αμοιβαία πολεμική μεταξύ Νεοπλατωνισμού και Χριστιανισμού γίνεται λόγος για επίδραση του πρώτου επί του δευτέρου. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός, ότι στη Νεοπλατωνική Σχολή των Αθηνών φοίτησαν και οι μεγάλοι Πατέρες της Εκκλησίας. Είναι δε γενικά δεκτό, ότι η χριστιανική θεολογία δανείσθηκε μαζικά από τον Πλάτωνα6. Οι Πατέρες της Ανατολικής Εκκλησίας των πρώτων αιώνων χρησιμοποίησαν τις συμβιβαζόμενες με τη χριστιανική πίστη διδασκαλίες του Πλάτωνα για τη διαμόρφωση και συστηματικοποίηση του δογματικού χριστιανικού συστήματος.

Παρ' όλα αυτά με την ανάδειξη του Χριστιανισμού σε επίσημη θρησκεία του κράτους τον 4° αιώνα μ. Χ. δημιουργήθηκε ένα εχθρικό περιβάλλον και μια ατμόσφαιρα που δεν ήταν καθόλου ευνοϊκή για την επιστημονική ερευνά. Το χριστιανικό κίνημα, που μέρα με τη μέρα γινότανε ισχυρότερο, δεν ανεχόταν αυτό που θεωρούσε ειδωλολατρική επιστήμη και φιλοσοφία. Θρησκεία και μαθηματικά βρέθηκαν σε οξεία αντιπαράθεση. Μερικά χαρακτηριστικά της κρίσης αυτής περιλαμβάνουν2: Καταστροφή της βιβλιοθήκης Αλεξανδρείας στο Σεράπειον από φανατισμένα πλήθη οπαδών του Επισκόπου Αλεξανδρείας Κυρίλλου (392 μ.Χ.). Λιθοβολισμό της τελευταίας των Αλεξανδρινών μαθηματικών Υπατείας, που ήταν επικεφαλής της Πλατωνικής Σχολής στην Αλεξάνδρεια (415 μ.Χ.). Κλείσιμο της Νεοπλατωνικής Ακαδημίας των Αθηνών από τον Ιουστινιανό (529 μ.Χ.) με αποτέλεσμα χίλια χρόνια ελληνικών μαθηματικών να πάρουν τέλος και πολλοί λόγιοι να τραβήξουν ανατολικά για την περσική αυτοκρατορία.

Αλληλοτροφοδοσία - Παραλληλισμοί.

Παρά την αντιπαράθεση αυτή είναι εν γένει αποδεκτή η προσφορά του Χριστιανισμού στα μαθηματικά και γενικά στην επιστήμη. Πρώτα - πρώτα οι Πατέρες της Εκκλησίας ενεθάρρυναν τη στοιχειώδη εκπαίδευση σαν προϋπόθεση απαραίτητη για τη μελέτη και διάδοση της Αγίας Γραφής. Πιο σημαντικά, η διάσωση των αρχαίων μαθηματικών συγγραμμάτων και γενικά της αρχαίας επιστημονικής κληρονομιάς οφείλεται στους κληρικούς της βυζαντινής εποχής. Μέσω των ιερών μονών διατηρήθηκαν ζωντανοί οι θησαυροί του αρχαίου κόσμου και ταυτόχρονα αξιοποιήθηκαν. Καθοριστικής, επίσης, σημασίας υπήρξε η συμβολή ορισμένων κινημάτων της ανατολικής βυζαντινής αυτοκρατορίας, όπως ο Νεστοριανισμός2.

Ο άμεσος παραλληλισμός της πνευματικής ζωής με τη μαθηματική σκέψη σε ορισμένους μπορεί να φαίνεται απίθανος ή περίεργος, ενώ σε άλλους απλός και εύκολα κατανοητός. Η αριθμολογία, ίσως, να είναι εκείνη η πτυχή των μαθηματικών, δια μέσου της οποίας εκδηλώνεται πιο απλά η σχέση μεταξύ μαθηματικών και θεολογίας και είναι εύκολα κατανοητή στο πλατύ ακροατήριο. Από τα αρχαία χρόνια οι άνθρωποι απέδιδαν στους αριθμούς μυστηριακές σημασίες και θεωρούσαν, ότι είχαν σημαντική επίδραση στη ζωή τους. Οι μονοί αριθμοί, για παράδειγμα, ήταν άρρενες και οι ζυγοί θήλεις, ενώ άλλοι αριθμοί ήταν τυχεροί και άλλοι άτυχοι. Για τους Πυθαγόρειους, για τους οποίους τα μαθηματικά έπαιξαν τόσο σημαντικό ρόλο στη ζωή και στη θρησκεία, τα πάντα ήταν αριθμοί. Αλλά και η Αποκάλυψη του Ιωάννη είναι γεμάτη από αριθμολογία, για παράδειγμα οι επτά αστέρες, επτά λυχνίες, επτά εκκλησίες (1:20) ή ο αριθμός του αντίχριστου χξς (13:18). Στην αριθμολογία βασίζεται και ο κανόνας εύρεσης του Πάσχα, όπως τον συγκρότησε η Α' Οικουμενική Σύνοδος5. Στην ορθόδοξη πατερική θεολογία βρίσκουμε πολλές περιπτώσεις αριθμολογίας, όπως λ.χ. στο λόγο του Οσίου Νείλου του ασκητού «Περί Προσευχής»7, όπου γίνεται εκτενής αναφορά σε τρίγωνους, τετράγωνους και σφαιρικούς αριθμούς.

Η Εκκλησία, επίσης, κάνει πολύ συχνά χρήση των μαθηματικών και ιδιαίτερα απλών γεωμετρικών σχημάτων στην ερμηνεία και απεικόνιση ποικίλων θεολογικών θεμάτων. Για παράδειγμα, ο αββάς Δωρόθεος δίνει μια ωραία και σαφή εικόνα της σωτηρίας υπό μορφή ενός κύκλου. Το κέντρο του κύκλου είναι ο Θεός και όλοι οι άνθρωποι βρίσκονται στην περιφέρεια. Προχωρώντας προς το Θεό, καθένας ακολουθεί μια ακτίνα του κύκλου, και όσο πιο πολύ πλησιάζει προς το κέντρο του κύκλου, τόσο και οι ακτίνες πλησιάζουν μεταξύ τους. Έτσι η απόσταση ανάμεσα στο Θεό και στον άνθρωπο περνά από τον πλησίον8. Επίσης η μονολόγιστη ευχή «Κύριε, Ιησού Χριστέ, ελέησόν με» συνίσταται στην επιστροφή του νου στον εαυτό του και στη συνέχεια μέσα στην καρδιά δια κυκλικής κίνησης γνωστής σαν «απλανής κίνηση του νου»9. Ο κύκλος και η γραμμή χρησιμοποιούνται, επίσης, από τους ορθόδοξους πατέρες στη διατύπωση του ορισμού του χρόνου10. Στο δε Θεοτοκάριον11 γίνεται χρήση της ομορφιάς και της απειρίας του κύκλου, καθώς και της ιδιαιτερότητας του τετραγώνου στην απεικόνιση του ονόματος της Παναγίας. Όσον αφορά στην αγιογραφία, η γεωμετρία συναντάται πλατειά και γίνεται αισθητή στους Ιερούς ναούς, όπου διάφορα γεωμετρικά σχήματα διακρίνονται να συμπληρώνουν τα κενά στις αγιογραφίες ή να τις πλαισιώνουν12. Επίσης σχήματα διάφορα φαίνονται να διακοσμούν επιφάνειες του δαπέδου, πόρτες ή εικονοστάσια. Τρισδιάστατοι σταυροί κοσμούν πολλές εικόνες, ακτινωτά εξάγωνα (έξι ίσα τετράγωνα σε κυκλικό σχηματισμό με κοινές ανά δύο τις κορυφές τους) στολίζουν τα δάπεδα ναών, ενώ ποικίλα αλλά γεωμετρικά σχήματα κοσμούν εικονοστάσια, άμβωνες, κάγκελα, πόρτες με σιδερένια η ξυλόγλυπτα κομμάτια13.

Πέραν, όμως, αυτών των απλών σχέσεων μαθηματικών και θρησκείας, για μας τους Έλληνες υπάρχει μια πλέον έντονη διάσταση, στην οποία συνδέονται γενικά τα μαθηματικά με την ορθοδοξία. Και τα δύο συγγενεύουν δια του γεγονότος ότι ανήκουν στην κατηγορία των θετικών παρά των θεωρητικών επιστημών. Αυτό γιατί η ουσία και των δύο βρίσκεται πιο πολύ στο πείραμα και στην παρατήρηση παρά στα κείμενα και στα βιβλία. Όταν δε λέμε πείραμα στην ορθοδοξία, εννοούμε την πνευματική ζωή και παρατήρηση, το φωτισμό και την κάθαρση της καρδίας. Στα δε μαθηματικά ασκούμαστε στη λύση προβλημάτων για να οξύνουμε την προσοχή μας και να αντιληφθούμε καλύτερα τις μαθηματικές έννοιες, ώστε να αποκτήσουμε ευχέρεια στην αντιμετώπιση πιο δύσκολων προβλημάτων. Εντούτοις, όμως, η ορθοδοξία είναι τόσο δογματική όσο και τα μαθηματικά. Κατά το Χωρεπίσκοπο Αρσινόης Γεώργιο14, εκείνο που συνδέει πρώτα από όλα την επιστήμη με τη θρησκεία κατά ένα βαθύ και ουσιαστικό τρόπο είναι ο παράγοντας «Πίστη». Μια χρήσιμη παρομοίωση για το θέμα αυτό με τα μαθηματικά γίνεται από το Λευτέρη Ζουρο15 και σχετίζεται με τις έννοιες του αξιώματος και του θεωρήματος στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Το αξίωμα είναι μια αρχή, που δεν μπορούμε να την αποδείξουμε, όμως την παραδεχόμαστε σαν φανερή. Από τα αξιώματα απορρέουν τα θεωρήματα, που αποτελούν το κύριο μέρος της Γεωμετρίας. Στην ορθοδοξία τώρα, με πίστη γίνεται δεκτή η εμπειρική γνώση των αγίων, από την οποία προκύπτει η έννοια του δόγματος (μαθηματικό αξίωμα), με βάση το οποίο λειτουργεί η θρησκευτική ορθόδοξη παράδοση (μαθηματικό θεώρημα).

Αυτοί οι παραλληλισμοί δεν σημαίνουν, ότι οι πιστοί στηρίζουν την αλήθεια της πίστης τους σε επιστημονικά τεκμηριωμένα επιχειρήματα και μαθηματικές εξισώσεις, αλλά μέσα από μια προσωπική εμπειρία αποκάλυψης και εσωτερικής πληροφορίας. Γίνεται φανερό μέσα από τα ορθόδοξα πατερικά κείμενα ότι ο άνθρωπος δεν μπορεί με την επιστημονική γνώση να συλλάβει το Θείον, αλλά μπορεί να το γνωρίσει μόνο με το Πνεύμα το Άγιο. Για να γνωρίσει ο άνθρωπος τα μυστήρια της βασιλείας του Θεού χρειάζεται να ταπεινωθεί και να περάσει μέσα από σκληρό αγώνα με τα πάθη του, δια ασκήσεως και προσευχής. Χαρακτηριστικό είναι το απόφθεγμα Από το βιβλίο του Αρχιμ. Σωφρονίου «Άγιος Σιλουανός ο Αθωνίτης»16 (σελ. 555): «Τα ουράνια γνωρίζονται δια του Αγίου Πνεύματος, τα δε επίγεια δια της φυσικής διανοίας. Πλανάται όστις αποπειράται να γνωρίση τον Θεόν δια του φυσικού νου, δια της επιστήμης, διότι ο Θεός γνωρίζεται μόνον εν Πνεύματι Αγίω». Ο δε π. Παΐσιος στο βιβλίο του «Επιστολές»17 (σελ. 215) γράφει χαρακτηριστικά για τη γνώση την επιστημονική: «Καλές είναι οι εγκεφαλικές δυνάμεις που ανεβάζουν τον άνθρωπο στη σελήνη, με δισεκατομμύρια έξοδα καυσίμων κ.λ.π., αλλά καλύτερες είναι οι πνευματικές δυνάμεις, που ανεβάζουν τον άνθρωπο στο Θεό, που είναι ο προορισμός του, και με λίγα καύσιμα, με ένα παξιμάδι».

Σύγκρουση – Συμπόρευση

Όμως η πίστη με την επιστήμη μπορούν κάλλιστα να συνυπάρχουν, να συλλειτουργούν και να αλληλοτροφοδοτούνται, φτάνει η μια να μη νοθεύει το χαρακτήρα της άλλης. Σε τέτοιες περιπτώσεις η σύγκρουση και η αντιπαράθεση είναι αναπόφευκτη. Τέτοια παραδείγματα έχουμε πολλά κυρίως μεταξύ μη ορθοδόξων. Ο Unwin18 στο βιβλίο του «The probability of God - A simple calculation that proves the ultimate truth» χρησιμοποιεί το 200 χρόνων θεώρημα του Bayes σταθμιζόμενο με παράγοντες, όπως κακό, πόνος, θλίψη, θαύμα και καλοσύνη, για να υπολογίσει την πιθανότητα ύπαρξης του Θεού. Χρήση του ιδίου θεωρήματος κάνει και ο Babbage19 στην προσπάθεια του να εισηγηθεί ένα στατιστικό μοντέλο, με το οποίο να υπολογίζει την πιθανότητα να συμβεί ένα θαύμα. Ο Bartholomew20 χρησιμοποιεί τεχνικές στατιστικής για να εντοπίσει διαφορές γραφών μεταξύ κομματιών της Κ. Διαθήκης. Η πρόβλεψη της δευτέρας παρουσίας υπήρξε ανέκαθεν δημοφιλέστατο θέμα μαθηματικού συλλογισμού. Παραδείγματα τέτοιων μαθηματικών υπολογισμών περιλαμβάνουν αρκετά ονόματα γνωστών μαθηματικών, όπως ο Napier21 (1550 - 1617 μ.Χ.), δημιουργός των λογαρίθμων, η ο Graig22, που υπολόγισε τη χρονολογία στο 3150, χρησιμοποιώντας τη γνωστή μαθηματική σχέση «exponential decay». Βεβαίως τέτοια παραδείγματα, αν και υπάρχουν πολλά, είναι εκτός θεολογικού περιεχομένου. Η τοποθέτηση της Εκκλησίας στα θέματα αυτά είναι ξεκάθαρη. Κατά τον π. Παΐσιο23, τα μαθηματικά και η επιστήμη κάνουν πολύ κακό, όταν κανείς προσπαθήσει να εξετάσει με αυτά τα Θεία, τα μυστήρια, τα θαύματα. Κακίζει αυτούς που με τη λογική τους έφθασαν να εξετάσουν τη Θεία Κοινωνία στο χημείο για να δουν αν πράγματι είναι σώμα και αίμα Χριστού. Οι άγιοι, συνεχίζει, με την πίστη, που είχαν, συχνά έβλεπαν σάρκα και αίμα στην αγία λαβίδα. Καταλήγει δε λέγοντας: Σε λίγο θα φθάσουν να περνούν τους αγίους από τις ακτίνες για να διαπιστώσουν την αγιότητα τους.

Υπάρχουν σοφοί κατά Θεό και σοφοί κατά κόσμο, αλλά υπάρχουν και εκείνοι που κατέχουν και τις δύο σοφίες. Κλασσικό παράδειγμα συνύπαρξης Θείας και ανθρώπινης σοφίας ο σοφώτατος επιστήμονας Μ. Βασίλειος και η μεγάλη μαθηματικός Αγία Αικατερίνη. Παραδείγματα μεγάλων στη Θεία σοφία και αγράμματων στην ανθρώπινη γνώση οι περιπτώσεις του Μ. Αντωνίου, Αγίου Σιλουανού Αθωνίτη, π. Παϊσίου κ.α. Κατά το διάσημο μαθηματικό Pascal24 ο λόγος του Θεού είναι τόσο απλός, ώστε να γίνεται κατανοητός από ένα αμόρφωτο εργάτη και τόσο βαθύς ώστε να μπορεί να ικανοποιείται και ο πλέον πολυσύνθετος και απαιτητικός επιστήμονας. Υπάρχουν, όμως, και πολλοί σύγχρονοι διάσημοι επιστήμονες μαθηματικοί, που υπήρξαν ψηλά θεολογούμενοι και πιστοί οπαδοί του Χριστού. Πρόκειται περί εκλεκτών επιστημόνων, στους οποίους οφείλεται η ανάπτυξη των μαθηματικών και του νεώτερου πολιτισμού. Οδηγήθηκαν στην πίστη μετά από βαθιά μελέτη και η ομολογία τους τους γέμισε βεβαιότητα και ειρήνη. Οι ευεργετικοί αυτοί καρποί της πίστης τους βοήθησαν να επιδοθούν ολόψυχα στα μαθηματικά. Τέτοιοι θεολογούμενοι μεγάλοι επιστήμονες υπήρξαν25, 26, 27:

Ο φυσικομαθηματικός Kepler (1571-1630), γνωστός σαν νομοθέτης του ουρανού, που ανακάλυψε και διατύπωσε με μαθηματικούς τύπους τους νόμους, που διέπουν τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον ήλιο. 28

Ο μεγάλος εργάτης του πνεύματος, Γάλλος μαθηματικός Descartes (1596-1650), ιδρυτής της αναλυτικής γεωμετρίας (εισήγαγε το σύστημα αξόνων των συντεταγμένων και παρέστησε τα γεωμετρικά σχήματα με αλγεβρικές εξισώσεις) και μέγας αλγεβριστής, γνωστός για την εργασία του με τις αρνητικές ρίζες των εξισώσεων.

Ο άγιος της επιστήμης Pascal (1623-1662), που ασχολήθηκε με τη θεωρία των πιθανοτήτων και άλλα σπουδαία μαθηματικά προβλήματα.

Ο θεολογήσας φυσικομαθηματικός Leibnitz (1646-1716), γνωστός για τη συμβολή του στην ανακάλυψη του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.

Ο υπερασπιστής της αποκάλυψης Euler (1707 - 1783), γνωστός για τα υπομνήματα επί της ολοκλήρωσης διαφορικών εξισώσεων ανωτέρας τάξης, καθώς και τη συμβολή του σε διάφορα προβλήματα άλγεβρας, όπως φανταστικοί αριθμοί, λογάριθμοι, σειρές, εξισώσεις ανωτέρου βαθμού κ. λ. π.

Ο πρίγκηπας των μαθηματικών Gauss (1777-1855) με τις πολλές και σπουδαίες μαθηματικές εργασίες στην αριθμητική, άλγεβρα, γεωμετρία, απειροστικό λογισμό, καθώς και εφηρμοσμένα μαθηματικά.

Ο άγγελος της αγνότητας, ευφυέστατος μαθηματικός Cauchy (1789), εργασίες του οποίου βρίσκουμε στη μαθηματική ανάλυση, άλγεβρα, μηχανική, θεωρία του φωτός κ. λ. π.

Δίπλα σε αυτούς τους κορυφαίους εργάτες της επιστημονικής έρευνας, που συνδύασαν τα μαθηματικά με τη βαθιά αγωνιστική χριστιανική πίστη, υπάρχουν και αρκετοί Έλληνες φυσικομαθηματικοί κατά το πλείστον κληρικοί28. Μπορεί να μη προήγαγαν εμφανώς τα μαθηματικά, όπως οι σύγχρονοι ευρωπαίοι ερευνητές, που αναφέραμε, αλλά υπήρξαν αναμφισβήτητα σπουδαίοι επιστήμονες και σπουδαίοι κληρικοί: Χρύσανθος Νοταράς (1700), Ευγένιος Βούλγαρης (1716-1806), Νικηφόρος Θεοτόκης (1736-1800), Βενιαμίν ο Λεσβίος (1762-1824), Άνθιμος Γαζής (1758-1837), Θεόφιλος Καΐρης (1784-1853).

Επίλογος

Τα μαθηματικά πέραν του ότι υποχρεώνουν, κατά τον Πλάτωνα, τη ψυχή να χρησιμοποιήσει τη νόηση για την εύρεση της καθαρής αλήθειας, βοηθούν περαιτέρω τη ψυχή και σε ψηλότερα και ευγενέστερα πετάγματα. Τη βοηθούν να στοχασθεί σοβαρά τον κόσμο, στον οποίο ζούμε, και το δημιουργό του. Γιατί ο Θεός έδωκε στους ανθρώπους τη γνώση και την επιστήμη για να δοξάζονται δια των θαυμαστών Του έργων και στη συνέχεια να αποδίδουν τη δόξα στο δημιουργό. Κατά τον Pascal24, ο Θεός των χριστιανών δεν είναι ένας Θεός, που δημιούργησε μονάχα κάποιες γεωμετρικές αλήθειες και την τάξη των στοιχείων. Είναι Θεός της αγάπης και της παρηγοριάς, που πλημμυρίζει τη ψυχή και την καρδιά εκείνων, που Του έχουν αφοσιωθεί. Διάσημοι μαθηματικοί, εμπνεόμενοι από την αγάπη αυτή και εμφορούμενοι από το πνεύμα της θυσίας για τον πλησίον, συνετέλεσαν, ώστε να προαχθεί η επιστήμη των μαθηματικών και να ευεργετηθεί ολόκληρη η ανθρωπότητα. Απέδειξαν με το παράδειγμά τους, ότι στην ίδια ανθρώπινη συνείδηση θρησκευτικότητα και μαθηματικά μπορούν να συνυπάρχουν, να συνεργάζονται και να αλληλοτροφοδοτούνται αποδοτικά, φτάνει η μια επιστήμη να μη νοθεύει το χαρακτήρα της άλλης. Θα ήταν, τέλος, μεγάλη παράλειψη να μη ευχαριστούσα θερμά τον π. Ευάγγελο Γιαλλουρίδη, ιερέα και μαθηματικό, για τις πολύτιμες συμβουλές του, αλλά και για την ευγενική του χειρονομία να μου διαθέσει την τόσο χρήσιμη βιβλιοθήκη του.

Ο μύθος του "μαθηματικού μυαλού".

"Δεν έχω μαθηματικό μυαλό". Το ακούμε διαρκώς. Όμως αυτή η άποψη περί "μαθηματικών μυαλών" καταντάει να είναι αυτοκαταστροφική για όσους την ασπάζονται. Η πραγματικότητα είναι ότι μάλλον έχετε "μαθηματικό μυαλό", όμως αν έχετε διαφορετική άποψη ίσως βλάπτετε τη καριέρα σας. Αλλά το χειρότερο είναι ότι συμβάλετε στη διαιώνιση ενός μύθου που βλάπτει ολέθρια τα μη προνομιούχα παιδιά, το μύθο της έμφυτης γενετικής ικανότητας στα μαθηματικά.

Είναι έμφυτη η ικανότητα στα μαθηματικά; Σίγουρα σε κάποιο βαθμό είναι. Ο Terence Tao, διάσημος μαθηματικός του UCLA , δημοσιεύει δεκάδες άρθρα σε κορυφαία περιοδικά κάθε χρόνο. Ερευνητές απ' όλο τον κόσμο ζητούν τη βοήθεια του για τα δυσκολότερα κομμάτια της έρευνας τους. Κανένας από εμάς δεν θα μπορούσε ποτέ να είναι τόσο καλός στα μαθηματικά όπως ο Terence Tao, ανεξαρτήτως πόσο σκληρά προσπαθήσουμε ή πόσο καλούς δασκάλους έχουμε. Αλλά εδώ είναι η διαφορά: Εμείς δεν χρειάζεται να είμαστε τόσο καλοί! Για τα μαθηματικά του σχολείου, το εκ γενετής ταλέντο είναι πολύ λιγότερο σημαντικό από τη σκληρή δουλειά , την προετοιμασία και την αυτοπεποίθηση.

Πώς το ξέρουμε αυτό; Όσοι διδάσκουν μαθηματικά για πολλά χρόνια - καθηγητές, βοηθοί διδασκαλίας και εκπαιδευτικοί του ιδιωτικού τομέα - παρατηρούν να επαναλαμβάνεται το παρακάτω μοτίβο :

Διαφορετικά παιδιά με διαφορετικά επίπεδα της προετοιμασίας ξεκινούν σε μια τάξη μαθηματικών. Μερικά από αυτά τα παιδιά έχουν γονείς που τα έχουν βοηθήσει να εντρυφήσουν στα μαθηματικά από μικρή ηλικία , ενώ άλλα παιδιά δεν είχαν αυτή τη γονική βοήθεια.

Στα πρώτα τέστ, τα καλά προετοιμασμένη παιδιά παίρνουν πολύ καλά αποτελέσματα, ενώ τα απροετοίμαστα παιδιά παίρνουν ό, τι κατάφεραν να μάθουν από μόνα τους.

Τα απροετοίμαστα παιδιά, δεν συνειδητοποιούν ότι αυτοί που πήραν τους καλούς βαθμούς ήταν καλά προετοιμασμένοι, και υποθέτουν ότι η εκ γενετής ικανότητα καθόρισε την διαφορά στην απόδοση τους. Έχοντας αποδεχτεί ότι "δεν έχουν μαθηματικά μυαλό", δεν προσπαθούν σκληρά και στις επόμενες τάξεις , και αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μείνουν πίσω .

Τα καλά προετοιμασμένη παιδιά, δεν συνειδητοποιούν ότι οι μαθητές που δεν πήραν καλούς βαθμούς ήταν απλώς απροετοίμαστοι, υποθέτουν ότι έχουν "μαθηματικό μυαλό", και μελετούν πολύ και στο μέλλον ώστε να επιβεβαιώσουν το πλεονέκτημα τους.

Έτσι, η πίστη των ανθρώπων ότι η ικανότητα στα μαθηματικά δεν μπορεί να αλλάξει γίνεται μια αυτοεκπληρούμενη προφητεία .

Η άποψη ότι η ικανότητα στα μαθηματικά είναι κυρίως έμφυτη αποτελεί μια σκοτεινή πτυχή της μεγαλύτερης πλάνης ότι η νοημοσύνη είναι κυρίως έμφυτη. Τα ακαδημαϊκά περιοδικά ψυχολογίας είναι γεμάτα δημοσιεύσεις που μελετούν την άποψη που βρίσκεται πίσω από το είδος της αυτοεκπληρούμενης προφητείας που μόλις περιγράψαμε. Για παράδειγμα, η καθηγήτρια ψυχολόγος Patricia Linehan του πανεπιστημίου Purdue γράφει :

Οι μελέτες σχετικά με το πως αντιλαμβανόμαστε την ικανότητα, έχουν δείξει δύο διαφορετικούς τύπου προσανατολισμού. Οι μαθητές με τον πρώτο τύπο (Incremental orientation), πιστεύουν ότι η ικανότητα (νοημοσύνη ) είναι εύπλαστη, με αποτέλεσμα να καταβάλουν μεγαλύτερη προσπάθεια. Οι μαθητές με τον δεύτερο τύπο προσανατολισμού (Entity orientation) πιστεύουν ότι η ικανότητα τους δεν είναι εύπλαστη, κάτι που τους αποτρέπει να προσπαθήσουν περισσότερο .

Η άποψη που λέει "Είτε είστε έξυπνος είτε όχι, τελεία και παύλα» οδηγεί σε κακά αποτελέσματα. Αυτό έχει επιβεβαιωθεί και από πολλές άλλες μελέτες . Όσο αφορά τα μαθηματικά αποδείχτηκε πρόσφατα και από τους ερευνητές στο Oklahoma City που βρήκαν σε μελέτη που έκαναν, ότι η πίστη στην έμφυτη ικανότητα στα μαθηματικά μπορεί να είναι η αιτία για σημαντικό μέρος της του χάσματος μεταξύ των δύο φύλων στα μαθηματικά .

Σε άλλη έρευνα, οι ψυχολόγοι Lisa Blackwell , Kali Trzesniewski και Carol Dweck παρουσίασαν σε φοιτητές τις δύο παρακάτω εναλλακτικές πεποιθήσεις των ανθρώπων σχετικά με την ευφυΐα :

Έχετε συγκεκριμένη ποσότητα νοημοσύνης, και δεν μπορείτε να κάνετε πολλά για να την αλλάξετε .

Μπορείτε να επηρεάσετε σε μεγάλο βαθμό το πόσο έξυπνοι είστε .

Διαπίστωσαν ότι οι φοιτητές οι οποίοι συμφώνησαν ότι «μπορείτε να επηρεάσετε σε μεγάλο βαθμό το πόσο έξυπνοι είστε " πήραν υψηλότερους βαθμούς. Αλλά, όπως ο Richard Nisbett αφηγείται στο βιβλίοIntelligence and How to Get It , οι ερευνητές έκαναν κάτι ακόμα πιο αξιοπρόσεκτο :

Προσπάθησαν να πείσουν μια ομάδα μαθητών γυμνασίου και λυκείου που προέρχονταν από μία φτωχή μειονότητα, ότι η νοημοσύνη είναι εξαιρετικά εύπλαστη και μπορεί να αναπτυχθεί με τη σκληρή δουλειά ... ότι η μάθηση αλλάζει τον εγκέφαλο δημιουργώντας νέες νευρωνικές συνάψεις ... και ότι οι μαθητές είναι υπεύθυνοι για αυτή τη διαδικασία αλλαγής.

Τα αποτελέσματα; Οι μαθητές που πείστηκαν ότι θα μπορούσαν να γίνουν πιο έξυπνοι με τη σκληρή δουλειά, εργάστηκαν σκληρότερα και πέτυχαν υψηλότερη βαθμολογία. Απ' αυτούς τους μαθητές, ακόμα καλύτερο αποτέλεσμα πέτυχαν όσοι πίστευαν αρχικά ότι η ευφυΐα είναι έμφυτη.

Αλλά η βελτίωση των βαθμών δεν ήταν η πιο εντυπωσιακή επίδραση. Ο Dweck αναφέρει ότι ορισμένοι μαθητές ξέσπασαν σε δάκρυα ακούγοντας ​​ότι η νοημοσύνη τους είναι ουσιαστικά υπό τον έλεγχό τους. "Δεν είναι εύκολο να περάσεις μια ζωή πιστεύοντας ότι γεννήθηκες χαζός και είσαι καταδικασμένοι να παραμείνεις έτσι ."

Για όσους πιστεύουν ότι έχουν γεννηθεί χαζοί και είναι καταδικασμένοι να μείνουν έτσι - αυτό το πιστεύω είναι ψέμα . Το IQ μπορεί να βελτιωθεί με τη σκληρή δουλειά.

ΤΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΥΝΕΧΕΣ.

                 

Ο Ζήνων ο Ελεάτης(περίπου 488-436;πΧ),

ήταν μαθητής του Παρμενίδη (επίσης από την

Ελέα της Ν. Ιταλίας) τις αντιλήψεις του οποίου

για το αμετάβλητο "είναι" προσπάθησε να υπερ-

ασπίσει, αποδομώντας τη λογική των αντιπάλων 

τουκαι κυρίως των Πυθαγορείων.

Γράφει ο μαθηματικός Γιώργος Μπαντές.

Ο Ζήνων δημιούργησε πιθανόν σαράντα παράδοξα αλλά είναι γνωστά μόνο τα εννέα. Το πιο φημισμένο είναι αυτό του Αχιλλέα και της χελώνας, όμως θα αναλύσουμε το πρώτο από τα παράδοξα (παράδοξο της διχοτομίας), που είναι ευκολότερα κατανοητό και περιέχει τα στοιχεία για την ερμηνεία όλων των άλλων. Αυτό έχει ως εξής:

Αν ένα σώμα κινείται από το Α στο Β , τότε πριν φτάσει στο Β, περνάει από το μέσον, έστω Β1 του ΑΒ. Τώρα κινούμενο από το Β1 πρέπει πρώτα να φτάσει στο μέσο Β2 του Β1Β, και συνεχίζοντας την ίδια περιγραφή βλέπουμε ότι το σώμα πρέπει να κινηθεί δια μέσου ενός άπειρου αριθμού αποστάσεων, δηλαδή θα κινείται επ’ άπειρο, άρα δεν φτάνει ποτέ στο Β, αφού δεν υπάρχει τελευταίος όρος στην ακολουθία των σημείων, δηλαδή ουσιαστικά η κίνηση είναι μόνο φαινομενική και δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα! Ήταν πράγματι παράδοξο κι’ όμως ο Ζήνων είχε δίκιο στην εποχή του.

Τα παράδοξα του Ζήνωνα (450 π.Χ) , αναφέρονται σε μεταβολές (κίνηση) και αναδεικνύουν μια ασυμφωνία μεταξύ της εμπειρίας και της μαθηματικής της ερμηνείας της εποχής του.

Όμως οι μεταβολές μελετώνται μαθηματικά από τον (Απειροστικό) Λογισμό, άρα η μαθηματική διερεύνηση των παραδόξων θα αναφέρεται στο Λογισμό και όπως θα δούμε θα φτάνει μέχρι τα λογικά θεμέλιά του. Ο Ζήνων δεν γνώριζε το Λογισμό, και με τα μαθηματικά της εποχής του κατέληξε σε παράδοξα. Όμως μας προετοίμασε για το τι είδους προβλήματα θα συναντούσαμε όταν θα μελετούσαμε μεταβολές του πραγματικού κόσμου. Χρειάστηκαν είκοσι πέντε αιώνες για να μπορέσουν να επιλυθούν τα προβλήματα στη θεμελίωση του Απειροστικού Λογισμού, τα οποία ερμήνευαν και τα παράδοξα του Ζήνωνα.

Έτσι τα παράδοξα παρέμειναν μέσα στο σώμα των Μαθηματικών σαν σαράκι για πολλούς αιώνες, -οι ερμηνείες του Αριστοτέλη ήταν οι μοναδικές μέχρι το 19ο αιώνα, αλλά δεν ήταν μαθηματικές ερμηνείες- και αναγνωρίστηκαν αργότερα ως η απαρχή του προβλήματος μιας αυστηρής θεμελίωσης του Λ ο γ ι σ μ ο ύ, ο οποίος ανακαλύφτηκε από τους Νεύτωνα και Λάιμπνιτς κατά τα τέλη του 17ου αιώνα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί προσπάθησαν στην κατεύθυνση αυτή να εξορίσουν τη διαίσθηση και τον τυφλό χειρισμό από την Ανάλυση 1,

αλλά ο Ζήνων ήταν ο πρώτος που αντιμετώπισε τις επ’ άπειρο διαδικασίες με βάση αποκλειστικά τη διαίσθηση. Χρειάστηκε πολύς χρόνος ώστε οι φιλόσοφοι της επιστήμης να δεχτούν ότι κάθε θεωρητική έννοια που χρησιμοποιούνταν σε μια φυσική θεωρία δεν ήταν υποχρεωτικό να έχει το αντίστοιχό της στην εμπειρία μας (Λογικός θετικισμός). Τα μαθηματικά και οι αριθμοί είναι όντα της Λογικής και αφού η εμπειρία μας είναι πεπερασμένη, πώς θα προσεγγίσουμε εμπειρικά το μαθηματικό άπειρο;

Το πρώτο αποτέλεσμα των παραδόξων ήταν να αλλάξει η ατζέντα των Ελλήνων μαθηματικών. Οι Έλληνες μαθηματικοί δεν μπόρεσαν να τα ερμηνεύσουν, και με πρότυπο την κρίση των αρρήτων, μετέφεραν τον προβληματισμό τους για τις επ’ άπειρο διαδικασίες, στη Γεωμετρία. Όπως δηλαδή δεν μπόρεσαν να δουν τους αρρήτους ως αριθμούς ενταγμένους στους ρητούς και μετέφεραν την κατάσταση στα ασσύμετρα μεγέθη, έτσι και τώρα, μετέφεραν τις επ’ άπειρο διαδικασίες των παραδόξων, στη γεωμετρία, μακριά από τους αριθμούς, στα σχήματα (μέθοδος της εξάντλησης, πάλι Εύδοξος) .

Η επαναφορά της κατάστασης στους αριθμούς έγινε κατά το 17ο αιώνα , με τα περίφημα απειροστά του Λάιμπνιτς, τα αθεμελίωτα όρια του Νεύτωνα, αλλά η τελική αυστηρή θεμελίωση των διαδικασιών του απείρου άρχισε με τη μελέτη του αριθμητικού συστήματος που θα περιελάμβανε όλους τους αριθμούς της εποχής , τους ρητούς και τους άρρητους. Γιατί τα Μαθηματικά, πέρα από τα ορθά αποτελέσματα των μεθόδων τους, έχουν προαπαιτούμενο ότι οι μέθοδοι αυτές θα πρέπει να στηρίζονται σε λογικές βάσεις. Η διερεύνηση των λογικών βάσεων των μεθόδων του Απειροστικού Λογισμού μας οδήγησε στην έννοια που ονομάζουμε «μαθηματικό συνεχές».

Η πορεία άρχισε με τον Euler τον 18ο αιώνα, και τους Cauchy, Bolzano , Dedekind,Peano κ.α, διευθετήθηκε κατά τα τέλη του 19ου αιώνα, οπότε με το έργο κυρίως τουWeierstrass (ε-δ μέθοδος γνωστή στους πρωτοετείς φοιτητές των Μαθηματικών) και το πρόγραμμά του, της «αριθμητικοποίησης της Ανάλυσης» έγινε δυνατή η εγκατάσταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών ως θεμέλιου της Ανάλυσης, με διάφορες εναλλακτικές μεθόδους που είναι εκτός των ορίων αυτού του άρθρου.

Τώρα το σχέδιο είναι πλήρες. Σύμφωνα με αυτό, όλες οι βασικές έννοιες της Ανάλυσης (όριο, ακολουθία, σειρά, συνέχεια, παραγωγισιμότητα κλπ) θα αναπτύσσονταν σε ένα αυστηρά και αξιωματικά δομημένο περιβάλλον , ένα σύνολο αριθμών. Όμως το σύνολο αυτό, το R, το συνεχές, ήταν αρκετά π α ρ ά ξ ε ν ο για να μπορέσει να θεμελιώσει διαδικασίες επ’ άπειρο και να περιγράφει μεγέθη μη δυνάμενα να μετρηθούν.

Τελικά ένα σύνολο 13 αξιωμάτων ορίζει το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. Επειδή το R έχει τις ιδιότητες πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού καθώς και την επιμεριστική ιδιότητα, χαρακτηρίζεται ως σώμα. Επειδή το R έχει και τις ιδιότητες διάταξης, χαρακτηρίζεται ως διατεταγμένο σώμα. Τέλος, επειδή το R έχει και την αρχή της συ ν έ χ ε ι α ς (13ο αξίωμα), χαρακτηρίζεται ως π λ ή ρ ε ς (χωρίς κενά) δ ι α τ ε τ α γ μ έ ν ο σ ώ μ α. ΤοR είναι το αριθμητικό πρότυπο του μαθηματικού συνεχούς και οι διαισθητικές μας αντιλήψεις για το χώρο τη διάρκεια ή την κίνηση, αναπροσαρμόζονται με βάση το R. Μια ισοδύναμη γεωμετρική εικόνα του παριστάνεται από μια μαθηματική ευθεία με την ίδια δομή με το σύνολο των πραγματικών αριθμών στη φυσική τους σειρά (αξιώματα διάταξης). Οι πραγματικοί αριθμοί δηλαδή αντιστοιχίζονται αμφιμονοσήμαντα με τα σημεία της ευθείας. (πραγματική ευθεία). To R είναι το μαθηματικό μοντέλο του συνεχούς (γραμμικό συνεχές) που περιγράφει το χώρο και το χρόνο κατά τη διάρκεια μιας κίνησης, αλλά έχουμε πολλά φυσικά συνεχή, η φυσική είναι γεμάτη, (π.χ ηλεκτρομαγνητικό πεδίο) τα οποία διαπραγματευόμαστε με τον Απειροστικό Λογισμό, τη γλώσσα του συνεχούς, με τεράστια επιτυχία.

   Οι βασικότερες και βαθύτερες έννοιες του μαθηματικού συνεχούς (του R) προκύπτουν από την αρχή της συνέχειας και είναι η π λ η ρ ό τ η τ α κ α ι η π υ κ ν ό τ η τ ά του . Αυτές είναι η βάση για να αποδειχτούν όλα τα σημαντικά αποτελέσματα της Ανάλυσης.

Η πληρότητα: η πραγματική ευθεία δεν έχει χάσματα , είναι συνεχής δεν διακόπτεται

Η πυκνότητα: μεταξύ δύο οποιονδήποτε πραγματικών αριθμών (σημείων) υπάρχει πάντα ένας άλλος (στην πραγματικότητα άπειροι άλλοι).

Το σύνολο των ρητών δεν είναι πλήρες, είναι όμως πυκνό. Κατέστη πλήρες μετά την συμπλήρωση των χασμάτων από τους αρρήτους με τις τομές Dedekind ή τα όρια βασικών ακολουθιών του Cauchy .

Τα παράξενα του συνεχούς που καταργούν τη διαίσθηση και την εποπτεία είναι

Δεν διαχωρίζεται και συγχρόνως είναι επ’ άπειρο διαιρετό.

Το μέτρο (όπως το μήκος) ενός συνεχούς δεν προκύπτει από την άθροιση των μέτρων των σημείων ούτε του αριθμού των σημείων.

Δοθέντος ενός αριθμού (σημείου) δεν υπάρχει επόμενος, αφού η απόσταση μεταξύ διακεκριμένων σημείων είναι πάντοτε θετική και πεπερασμένη.

Η συνολική απόσταση που διανύεται από μια διαδοχή μιας συγκλίνουσας σειράς σημείων, ορίζεται από ένα άπειρο άθροισμα.

Αυτό που πρέπει πρώτα να επανεξεταστεί μέσα στο συνεχές, στα πλαίσια των παραδόξων, είναι η βάση της διαίσθησης, στην έννοια του σημείου.

Το σημείο στο συνεχές χάνει την ατομικότητά του, έτσι ώστε καμία αναπαράστασή του να είναι δυνατή, και να εξαφανίζεται κάθε διαισθητική αναφορά σε αυτό.

«το σημείο μέσα στο συνεχές στερείται το απαιτούμενο στήριγμα στη διαίσθηση. …Weyl

..Τα σημεία δεν είναι μέρος της διαίσθησής μας του συνεχούς τουλάχιστον όχι σαφώς από το χρονικό συνεχές , όπως επίσης ούτε μέρος του χωρικού συνεχούς … Longo 1998..».

Έτσι στα σύγχρονα μαθηματικά εγκαταλείπεται ο όρος σημείο, για τη φράση «όριο ακολουθίας» ή για τη λέξη «τομή».

Το σημείο χάνει την σαφή και Πυθαγόρεια υπόστασή του (σημείο - χάντρα), δηλαδή η εποπτεία διαλύεται, δεν υπάρχει εικόνα στο μυαλό για την πραγματική ευθεία , την εικόνα τουR, και όμως η κατάσταση είναι μ α θ η μ α τ ι κ ά π ε ρ ι γ ρ ά ψ ι μ η.

Η άπειρη διαίρεση του συνεχούς δεν μοιάζει σε τίποτα με την πεπερασμένη. Το σύνολοR το θεωρούμε επ’ άπειρο διαιρετό αλλά δεν μπορούμε να φανταστούμε μια άπειρη διαίρεσή του. Είναι τόση η πυκνότητά του, ώστε μπορεί να συμβεί ότι προσθέτοντας αριθμούς επ’ άπειρο να έχουμε ως άθροισμα έναν πεπερασμένο αριθμό, (συγκλίνουσες σειρές). Με αυτή την έννοια η αρχαία ιδέα ότι η πραγματική άπειρη ακολουθία ½, ¾, 7/8,….. ποτέ δεν συγκλίνει σε κάποιον αριθμό, αφού συνεχώς προσθέτουμε πραγματικά μεγέθη (actual infinity), θα πρέπει να αντικατασταθεί με τη νέα έννοια της ακολουθίας που θεμελιώνεται στο συνεχές, καταλήγοντας στη σύγκλιση στον αριθμό 1.

Αυτό ακριβώς διέφευγε το Ζήνωνα, που την άπειρη διαίρεση τη φαντάζονταν ..ασυνεχώς, φτάνοντας σε παράδοξα. Η αιτία δηλαδή της παραδοξότητας ήταν ότι προσπαθούσαν (τα παράδοξα) να συνδυάσουν την έννοια του απείρου, και την Πυθαγόρεια αντίληψη της ασυνέχειας για τον κόσμο. Γνωρίζουμε ότι το Πυθαγόρειο σύμπαν αποτελεί ένα αντίγραφο αυτού που σήμερα ονομάζουμε σύνολο φυσικών αριθμών, δηλαδή ήταν καθεστώς η αντίληψη ότι το σύμπαν αποτελείται από σχέσεις ανάμεσα σε διακριτές ποσότητες.

Η ευθεία γραμμή για τους Πυθαγόρειους ‘αποτελούνταν’ από χάντρες (διακεκριμένα σημεία) και ο χρόνος ήταν ένα σύνολο μεμονωμένων χρονικών στιγμών. Αν οι διακριτές χάντρες (όπως στο κομπολόι) ήταν άπειρες τότε το κινητό πράγματι, δεν θα φτάσει ποτέ στο Β. Δεν μπορούσαν τότε να κατανοήσουν ότι οι διαδοχικοί αριθμοί των θέσεων του κινητού του Ζήνωνα (τα σημεία) θα μπορούσαν να πλησιάσουν «οσοδήποτε κοντά» όσο μεγάλωνε η τάξη τους στη διαδοχή, να πυκνώσουν τόσο ώστε να μην λειτουργεί το μοντέλο με τις χάντρες, να καθίστανται αόρατα, χωρίς διαστάσεις, η επ’ άπειρο διαδοχή τους ένα νέφος, με αποτέλεσμα να συγκεντρώνονται «οσοδήποτε κοντά» στο Β (πεπερασμένο άθροισμα άπειρων όρων- όριο !), η υπόθεση να ξεφεύγει από τη εποπτεία της διακριτότητας, και στην πράξη το κινητό να φτάνει (οσοδήποτε κοντά) στη θέση Β. Αυτό το «οσοδήποτε κοντά» σήμερα δεν είναι αποτέλεσμα διαίσθησης και εποπτείας, αλλά αυστηρής θεμελίωσης που βασίζεται στην αρχή της συνέχειας. Είναι όριο μιας ακολουθίας δηλαδή ένα σημείο του συνεχούς. Μια θεωρία ορίων λοιπόν, η οποία βλέπει τα σημεία του R όπως βλέπει η Κυματομηχανική το σωμάτιο–κύμα, ήταν αδύνατον να θεμελιωθεί από τους Έλληνες της Πυθαγόρειας αντίληψης (το σωμάτιο της κλασσικής μηχανικής).

Σήμερα το όριο λ μιας ακολουθίας αn περιγράφεται με τους γνωστούς τύπους της ανάλυσης:

το όριο της αn είναι το λ αν και μόνο αν

όπου το ε είναι οσοδήποτε μικρός θετικός αριθμός, που περιγράφει το «οσοδήποτε κοντά». Αυτό συμβαίνει στο παράδοξο της διχοτομίας! Η διαδοχή του Ζήνωνα για ΑΒ=1 είναι η συγκλίνουσα γεωμετρική σειρά 1/2+1/4+……1/2n +…… που η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι η γνωστή μας ½, ¾, 7/8,….. με όριο το 1, άρα οι όροι της αn, (ακολουθία των μερικών αθροισμάτων) πέρα από έναν δείκτη n0, συγκεντρώνονται όλο και «πυκνότερα» γύρο από το 1 , (όσο πιο κοντά τόσο πιο πυκνά, όσο μικραίνει το ε αυξάνει η πύκνωση, και μεγαλώνει το n0) τερματίζοντας οριακά, δηλαδή στην πράξη, την κίνηση στη διαδρομή του Ζήνωνα, στο σημείο Β με τη νέα του έννοια-ονομασία (όριο ακολουθίας).

Από το σημείο αυτό ξεκινούν τα φιλοσοφικά συμπεράσματα του Ζήνωνα ότι δηλαδή με την παραδοχή της επ’ άπειρο διαίρεσης των μεγεθών , δεν υπάρχει …κίνηση! Τα διαδοχικά σημεία της διαδρομής δεν τελείωναν ποτέ (άπειρα) και καθώς τα έβλεπε διακριτά, καθιστούσαν την άφιξη στο Β αδύνατη.

Κατάλαβε ότι η διακριτή γνωστή σε αυτόν Πυθαγόρεια διαδοχή δεν συμβαίνει όταν το πλήθος των όρων απειρίζεται, αλλά πώς να την περιγράψει;

Άρα δεν ισχύει η επ’ άπειρο διαίρεση των μεγεθών! Ο χώρος και ο χρόνος δεν ήταν επ’ άπειρο διαιρετά όπως έδειχναν οι αριθμοί. Αποτέλεσμα αυτής της κατάργησης της διακριτής και άπειρης διαδοχής, (ισχυρίζεται ο Ζήνων) είναι τελικά η άφιξη του κινητού στο Β. (διαφορετικά συμβαίνει το παράδοξο να μην φτάνει στο Β, μέθοδος της εις άτοπον απαγωγής). Έ τ σ ι δ ι α ι σ θ η τ ι κ ά ε ρ μ ή ν ε υ σ ε α υ τ ό ς τ η ν α ρ χ ή τ η ς σ υ ν έ χ ε ι α ς. Κατάργησε την επ’ άπειρο διαίρεση των μεγεθών, επειδή δεν κατανοούσε το ‘μηχανισμό’ της. Ότι δηλαδή άπειρη διαδικασία σημαίνει όριο, και όριο σημαίνει συνεχές.

Το επόμενο παράδοξο του Ζήνωνα (παράδοξο του βέλους) έχει την ίδια ερμηνεία, αλλά στο συνεχές του χρόνου, όπου δεν μπορούμε να μιλούμε για ξεχωριστές και διαδοχικές Πυθαγόρειες χρονικές στιγμές, και η διάρκεια μιας στιγμής είναι μηδενική. Τα γεγονότα ορίζονται όχι ως στιγμιαία αλλά σε ένα συνεχές διάστημα πραγματικών αριθμών (πάλι οσοδήποτε μικρό). Η περιγραφή του Ζήνωνα αναφέρεται στην προσπάθεια αντιμετώπισης των επ’ άπειρο διαιρούμενων χρονικών διαδικασιών με θεμελιακή αφετηρία όμως την Πυθαγόρεια ιδέα της μη συνέχειας, ενώ πρόκειται για ένα γραμμικό συνεχές σύνολο στιγμών.

Σαν τελικό συμπέρασμα έχουμε ότι στην προσπάθεια να θεμελιώσουμε αυστηρά λογικά τις επ’ άπειρο διαδικασίες, φτάσαμε στην έννοια του συνεχούς (του οποίου η μελέτη έχει μεγάλη ιστορία μέχρι σήμερα-θεωρία συνόλων) με μαθηματικό μοντέλο το R. Είναι αυτό το συνεχές που ερμήνευσε όλα τα πολλά παράδοξα που εμφανίζονταν στην πορεία της εξέλιξης του Λογισμού από τα απειροστά μέχρι την παράγωγο και τις σειρές, στα οποία τα παράδοξα του Ζήνωνα ήταν μόνο η αρχή.